三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编：专题11-平面向量(含解析)

三年（2017-2019）高考真题数学（理）分项汇编专题11平面向量1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足||2||ab，且()abb，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】B【解析】因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||12||2abbabb，所以a与b的夹角为π3，故选B．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．2．【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=A．−3B．−2C．2D．3【答案】C【解析】由(1,3)BCACABt，221(3)1BCt，得3t，则(1,0)BC，(2,3)(1,0)21302ABBC．故选C．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACBC”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB与AC的夹角为锐角，所以2222||||2||||2ABACABACABACABAC，即22||||ABACACAB，因为ACABBC，所以|AB+AC||BC|；当|AB+AC||BC|成立时，|AB+AC|2|AB-AC|2AB•AC0，又因为点A，B，C不共线，所以AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC||BC|”的充分必要条件,故选C．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2018年高考全国I卷理数】在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBA．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC1113124444BABAACBAAC，所以3144EBABAC.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年高考全国II卷理数】已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因为22222||1213aabaaba,所以选B.【名师点睛】已知非零向量11(,)xya，22(,)xyb：几何表示坐标表示模|a|=aa2211xya夹角cosabab121222221122cosxxyyxyxy6．（2018年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π 3，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A．3−1B．3+1C．2D．2−3【答案】A【解析】设=(𝑥,𝑦),=(1,0),=(𝑚,𝑛)，则由⟨,⟩=π3得⋅=||⋅||cosπ3,𝑥=12√𝑥2+𝑦2,∴𝑦=±√3𝑥，由b2−4e·b+3=0得𝑚2+𝑛2−4𝑚+3=0,(𝑚−2)2+𝑛2=1,因此|a−b|的最小值为圆心(2,0)到直线𝑦=±√3𝑥的距离23=32减去半径1，为√3−1.选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，,,120,ABBCADCDBAD1,ABAD若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为A．2116B．32C．2516D．3【答案】A【解析】连接AD,取AD中点为O,可知ABD△为等腰三角形，而,ABBCADCD，所以BCD△为等边三角形，3BD.设01DEtDCtAEBE2232ADDEBDDEADBDDEADBDDEBDDEDE=233322tt01t所以当14t时，上式取最大值2116，故选A.【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.8．【2018年高考北京卷理数】设a，b均为单位向量，则“33abab”是“a⊥b”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】222222699+63333aabababababbaabb，因为a，b均为单位向量，所以2222699+6=0aabbaabbaba⊥b，即“33abab”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．9．【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若APABAD，则的最大值为A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设0,1,0,0,2,0,2,1,,ABCDPxy，易得圆的半径25r，即圆C的方程是22425xy，,1,0,1,2,0APxyABAD，若满足APABAD，则21xy，,12xy，所以12xy，设12xzy，即102xyz，点,Pxy在圆22425xy上，所以圆心(20),到直线102xyz的距离dr，即221514z，解得13z，所以z的最大值是3，即的最大值是3，故选A．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.10．【2017年高考全国II卷理数】已知ABC△是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是A．2B．32C．43D．1【答案】B【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，设(,)Pxy，所以(,3)PAxy，(1,)PBxy，(1,)PCxy，所以(2,2)PBPCxy，22()22(3)22(PAPBPCxyyxy2333)222，当3(0,)2P时，所求的最小值为32，故选B．【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．11．【2017年高考北京卷理数】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0，使mn，则两向量,mn反向，夹角是180，那么cos180mnmn0mn；若0mn，那么两向量的夹角为90,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,pqqp，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若pq，那么p，q互为充要条件；若,pqqp，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,pxA:qxB,若AB，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若AB，那么p，q互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为q是p条件的判断.12．【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若25cab，则cos,ac___________.【答案】23【解析】因为25cab，0ab，所以225acaab2，222||4||455||9caabb，所以||3c，所以cos,ac22133acac．【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE___________．【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，23,5,ABAD则(23,0)B，535(,)22D.因为AD∥BC，30BAD，所以30ABE，因为AEBE，所以30BAE，所以直线BE的斜率为33，其方程为3(23)3yx，直线AE的斜率为33，其方程为33yx.由3(23),333yxyx得3x，1y，所以(3,1)E.所以35(,)(3,1)122BDAE.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.14．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC△中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6ABACAOEC，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．3632AOECADACAEABACACAE，223131123233ABACACABABACABACABAC22223211323322ABACABACABACABACABAC，得2213,22ABAC即3,ABAC故3ABAC【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.15．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍时，123456||ABBCCDDAACBD的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0；25.【解析】以,ABAD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则