2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件：8.3 抛物线

§8.3抛物线本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)轴对称轴y＝0____________对称轴x＝0___________焦点__________F(－p2，0)___________F(0，－p2)对称轴y＝0对称轴x＝0F(p2，0)F(0，p2)标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)准线x＝－p2_________________y＝p2离心率e＝1e＝1e＝1e＝1开口开口向右___________开口向上__________M(x0，y0)焦半径|MF|＝x0＋p2|MF|＝－x0＋p2|MF|＝y0＋p2|MF|＝－y0＋p2范围__________x≤0_________y≤0x＝p2y＝－p2开口向左开口向下x≥0y≥0思考探究1．抛物线的定义中，定点F能否在定直线l上？提示：不能．定义中还有一个隐含条件，就是定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程应为x－y－1＝0，轨迹为过F且与l垂直的一条直线．2．抛物线标准方程中，p的几何意义是什么？提示：表示焦点到准线的距离，恒为正数．课前热身1．(2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x解析：选B.因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.2．(2011·高考辽宁卷)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74解析：选C.∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.∴线段AB的中点到y轴的距离为xA＋xB2＝54.3．若点P到直线x＝－1的距离始终比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：D4．抛物线y2＝8x的焦点坐标为________．答案：(2,0)5．设抛物线y2＝8x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过AB中点M作x轴平行线交y轴于N，若|MN|＝2，则|AB|＝________.答案：8考点探究讲练互动考点突破考点1抛物线的定义抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有重要作用．例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【思路分析】要求最小值问题，可考虑抛物线的定义，通过定义转化为“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”这些结论．【解】将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上的点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P坐标为(2,2)．【领悟归纳】若点P0(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p0)上的任一点，则该点到抛物线的焦点F的距离|P0F|＝x0＋p2(焦半径公式)，这一公式的直接应用会为我们求解有关到焦点或准线的距离问题带来方便．考点2求抛物线的标准方程求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向．例2求下列各抛物线的方程：(1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点M(－2，－4);(2)顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5.【思路分析】(1)中抛物线开口方向不定；(2)利用抛物线定义求解．【解】(1)设抛物线为y2＝mx或x2＝ny，则(－4)2＝m(－2)⇒m＝－8，或(－2)2＝n(－4)⇒n＝－1，∴所求的抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.(2)依题意，抛物线开口向下，故设其方程为x2＝－2py(p0)．则准线方程为y＝p2，又设焦点为F，则|QF|＝p2－yQ，即p2－(－3)＝5⇒p＝4.故抛物线方程为x2＝－8y.【易错警示】这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去另一解．跟踪训练1．求焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．解：直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p0)，p2＝4，p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，－p2＝－2，p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.考点3抛物线的几何性质及应用抛物线的性质和椭圆、双曲线比较差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线、它没有中心，能正确地应用抛物线的几何性质解决一些简单的问题，结合抛物线的定义，解决与之有关的基本运算，以提高应用知识解决问题的能力．【思路分析】可用几何法，挖掘梯形MM1N1N的性质计算∠M1FN1.也可用向量计算FM1→·FN1→.如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.求证：FM1⊥FN1.例3【证明】法一：由抛物线的定义得|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|，设准线l与x轴的交点为F1，∵MM1∥NN1∥FF1，∴∠MFM1＝∠MM1F＝∠F1FM1，∠NFN1＝∠NN1F＝∠F1FN1，而∠F1FM1＋∠MFM1＋∠F1FN1＋∠N1FN＝180°，即2∠F1FM1＋2∠F1FN1＝180°，∴∠F1FM1＋∠F1FN1＝90°，∴FM1⊥FN1.法二：依题意，焦点为F(p2，0)，准线l的方程为x＝－p2，设点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my＋p2，则有M1(－p2，y1)，N1(－p2，y2)，FM1→＝(－p，y1)，FN1→＝(－p，y2)，由x＝my＋p2y2＝2px得，y2－2mpy－p2＝0，于是，y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2，∴FM1→·FN1→＝p2＋y1y2＝p2－p2＝0，∴FM1⊥FN1.【思维总结】本题体现了抛物线的焦点弦的常用性质：如y1y2＝－p2.跟踪训练2.在本例中，点P为MN的中点，PQ⊥l于Q点，如图．求证：MQ⊥NQ.证明：在直角梯形MM1N1N中，|PQ|＝12(|MM1|＋|NN1|)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|.又∵P为MN的中点．∴|PQ|＝|PM|＝|PN|，∴2(∠MQP＋∠NQP)＝180°，∴∠MQP＋∠NQP＝90°，∴MQ⊥NQ.方法技巧方法感悟1．抛物线的定义体现了抛物线上的点到定点距离与到定直线距离相互转化的应用．2．为避免开口方向不一定而分成y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)，若m＞0，开口向右，m＜0开口向左，m有两解，则抛物线的标准方程有两个．3．抛物线比较常见的结论(1)若直线l过焦点交抛物线y2＝2px(p0)于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)抛物线顶点到焦点的距离为抛物线上任意一点到焦点距离的最小值；(3)抛物线的通径长为过抛物线的焦点的弦长的最小值；过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角),通径长为2p；(4)若抛物线方程为y2＝2px(p0)，过(2p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，则OA⊥OB.反之成立．失误防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．2．直线与抛物线相交，要注意直线是否过焦点．考向瞭望把脉高考命题预测对于抛物线的考查，主要涉及抛物线的定义、几何性质、标准方程及直线与抛物线的位置关系，多以选择、填空题为主，属于中档题．解答题多与其它曲线结合，综合考查解析几何的基本思想方法和运算、求解能力．2012年的高考中，四川卷、重庆卷等考查了抛物线的定义、方程、性质等综合应用，浙江卷、福建卷等以解答题型出现，综合考查了解析几何的思想和解题方法，属难度较大题目．预测2014年的高考中,着重考查抛物线的定义、标准方程、几何性质,仍将以选择题、填空题为主,也可能出现与其他知识结合起来的综合题,若出现与向量、三角、列不等式求解式证明定点、定值、最值.存在性等问题,则综合性较强且难度较大.规范解答例(本题满分13分)(2011·高考江西卷)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．【解】(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.(3分)由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(6分)(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．(9分)设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.(13分)【名师点评】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，平面向量的概念，圆锥曲线与直线综合解决此问题应采用对交点设而不求，应用根与系数的关系解决问题．在设点的坐标时，应尽可能的应用已知条件，在求解过程中减少繁杂的化简运算．知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放