【2017参考】金版教程2016高考数学理二轮复习课件2-4-3 解答题的解题程序模板

第二编考前冲刺攻略第四步高考题型大突破第三讲解答题的解题程序模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板一三角函数MOBAN例1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；解(1)∵csinA＝acosC，由正弦定理，得sinCsinA＝sinAcosC.又0Aπ，∴sinA0，从而sinC＝cosC.又cosC≠0，∴tanC＝1.又C∈(0，π)，则C＝π4.(2)求3sinA－cosB＋π4的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小；解(2)由(1)知，B＝34π－A，B＋π4＝π－A，则3sinA－cosB＋π4＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sinA＋π6.因为0A34π，则π6A＋π61112π.从而当A＋π6＝π2，即A＝π3时，2sinA＋π6取最大值2.综上可知，3sinA－cosB＋π4的最大值为2，此时A＝π3，B＝5π12.(3)若a2＋c2－b2＝ac，且c＝2.求△ABC的面积．解(3)由a2＋c2－b2＝ac及余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.又0B34π，因此B＝π3.A＝π－(B＋C)＝5π12.又c＝2，csinA＝acosC.从而2sin512π＝acosπ4，即2×6＋24＝22a，∴a＝3＋1.∴△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝3＋32.审题视角(1)由边化角，完成边角转化．(2)正、逆用两角和的正、余弦公式，将3sinA－cosB＋π4化为正弦型函数，根据三角函数性质，求角A、B.(3)由余弦定理，求B进而求A，得到S△ABC的值．构建解题程序第一步：运用正弦定理，将边化为角的关系，进而由角的范围及tanC＝1，求角C.第二步：化三角函数为a2＋b2sin(x＋φ)的形式．第三步：根据三角函数性质，求出A，B.第四步：利用余弦定理与面积公式求S△ABC.第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤．批阅笔记1.①本题第(1)、(3)问的求解关键充分运用条件特征，灵活运用正余弦定理，完成边角的转化．②第(2)问注意到A、B关系，逆用两角和的正弦公式．2．本题易错点：①第(2)问中，忽视角的取值范围，推理计算不严谨；②不会将cosB＋π4转化为cos(π－A)，导致求解复杂化，使得求错结论；③抓不住第(3)问的条件特征，盲目代入，无果而终．变式训练1[2015·唐山统考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB＝bcosC＝3.(1)求b；(2)若△ABC的面积为212，求c.解(1)由正弦定理得sinCsinB＝sinBcosC，又sinB≠0，所以sinC＝cosC，C＝45°.因为bcosC＝3，所以b＝32.解(2)因为△ABC的面积S＝12acsinB＝212，csinB＝3，所以a＝7.又c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，所以c＝5.模板二立体几何MOBAN例2如图，在七面体ABC－DMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝2，NB＝1，MB与ND交于P点．(1)在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明；解(1)当BQ＝13AB时，有QP∥平面AMD.证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB.∴BPPM＝NBMD＝12.又QBQA＝12.∴QBQA＝BPPM.∴在△MAB中，QP∥AM.又QP⊄面AMD，AM⊂面AMD，∴QP∥面AMD.(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．解(2)以DA、DC、DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,0,2)，N(2,2,1)．∴CM→＝(0，－2,2)，CN→＝(2,0,1)，DC→＝(0,2,0)．设平面CMN的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·CM→＝0，n1·CN→＝0.∴－2y＋2z＝0，2x＋z＝0.取x＝1，∴n1＝(1，－2，－2)．又NB⊥平面ABCD，∴NB⊥DC，又DC⊥BC.∴DC⊥平面BNC.∴平面BNC的法向量n2＝DC→＝(0,2,0)，cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－43×2＝－23.设所求的锐二面角大小为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝23.故平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值为23.审题视角(1)P是△ABM的一边BM上的点→在另一边AB上一定存在一点Q使PQ∥AM→BQQA＝BPPM＝NBMD＝12.(2)建立坐标系→构造法向量→求夹角．构建解题程序第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线．第二步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标．第三步：求(或找)两个半平面的法向量．第四步：求法向量n1，n2的夹角或cos〈n1，n2〉(若为锐二面角则求|cos〈n1，n2〉|)．第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．如本题求得cos〈n1，n2〉＝－23后易答当二面角的余弦值为－23而出错，一定要注意这一点．批阅笔记1.本题第(1)问证明的关键是在平面ADM内找到一条与PQ平行的线，并确定Q点的位置．入手点应在BN綊12MD，利用这一条件可确定BQ＝13AB，再利用线面平行的判定定理进行证明．第(2)问建立空间直角坐标系，将二面角的求法转化为两平面法向量夹角的求法即可．2．本题易错点：①第(1)问Q点位置探索错误或解题步骤书写不规范，应先探索出Q点位置，再进行证明．②第(2)问的易错点忽视二面角的取值范围，将二面角的余弦值－23作为结果，忘记求锐二面角的余弦值．变式训练2[2015·云南高三统测一]如图，在四棱锥C－ABDE中，F为CD的中点，DB⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE.(1)求证：EF⊥平面BCD；解(1)证明：设AE＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(3，1,0)，D(0,2,2)，E(0,0,1)，F32，32，1，EF→＝32，32，0，CD→＝(－3，1,2)，BD→＝(0,0,2)．∵EF→·CD→＝0，EF→·BD→＝0，∴EF⊥CD，EF⊥BD.又∵CD⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，CD∩BD＝D，∴EF⊥平面BCD.(2)求平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．解(2)设平面CED的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥EF→，n⊥CD→，∴32x＋32y＝0－3x＋y＋2z＝0，取x＝1，解得y＝－33z＝233，∴n＝1，－33，233是平面CED的一个法向量，而平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)．设平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝22.∵0θπ2，∴θ＝π4.∴平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为π4.模板三概率与统计MOBAN例3某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；解(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z依题意得x1－y1－z＝0.08，xy1－z＝0.12，1－1－x1－y1－z＝0.88，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5.若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24.∴事件A的概率为0.24.(2)求ξ的分布列和数学期望．解(2)依题意，知ξ＝0,2，则ξ的分布列为：ξ02P0.240.76∴ξ的数学期望为E(ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.审题视角(1)首先明确ξ的取值，ξ＝0,2.(2)根据题设条件求该学生选修甲、乙、丙的概率，进而求出ξ＝0,2的概率．构建解题程序第一步：利用方程思想，求该生选修甲、乙、丙的概率．第二步：根据概率性质，求事件A(ξ＝0)的概率．第三步：明确ξ的取值，并求相应事件概率．第四步：列出分布列，求数学期望．第五步：写出规范的答案，反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范．批阅笔记1.解决离散型随机变量的分布列，期望与方差问题，往往还与互斥事件、相互独立事件、独立重复试验综合，明确事件的性质，恰当选择公式是求解关键．2．本题常见错误：(1)方程求解能力差，求不出x，y，z值；(2)理解不清ξ的取值；(3)难以用分布列性质求P(ξ＝2)．变式训练3某校高三有800名同学参加学校组织的化学学科竞赛，其成绩的频数分布表和频率分布直方图如下所示，规定95分及其以上为一等奖．区间[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]人数40a280240b(1)求频数分布表中a，b的值；(2)现在要用分层抽样的方法从这800人中抽取40人进行成绩分析，求其中获一等奖的学生人数；解(1)依题意，a＝0.04×5×800＝160，b＝0.02×5×800＝80.解(2)设其中获一等奖的学生人数为x，则80040＝80x，解得x＝4，即其中获一等奖的学生人数为4.(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加全省化学学科竞赛，记“其中获一等奖的人数”为X，求X的分布列与数学期望．解(3)依题意，X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝C236C240＝2126，P(X＝1)＝C136C14C240＝1265，P(X＝2)＝C24C240＝1130，所以X的分布列为X012P212612651130X的数学期望E(X)＝0×2126＋1×1265＋2×1130＝15.模板四数列MOBAN例4已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；解(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n≥2)．∵an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n≥2)．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．∴an＝3n－1(n∈N*)．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a