数值分析函数逼近与曲线拟合

§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间在数值计算中经常要计算函数值，当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间[a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题。本章讨论的函数逼近，是指“对函数类A中给定的函数f(x),记作f(x)∈A，要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x)∈B,使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小。函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b],成为连续函数空间,而函数类B通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等。函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，现介绍代数和数分中的一些基本概念及预备知识。.,,0)1.1(,.,,1.10,,,,,,1111111线性无关线性相关定义1nnnnnnnxxxxxxPSxxPS立，则称成只对若否则则称）（，使得如果存在不全为零的数上的线性空间，元素是数域设集合上一致成立。在使得多项式那么如果ba,,|)()(|max),(,0],,[)()1(bxaxpxfxpbaCxfsWeierstras定理上一致成立；，在使得其中伯恩斯坦多项式给出一种构造性证明：伯恩斯坦]1,0[)(),(lim,)1()((1.3)),(),()1912(0xfxfBxxknxPxPnkfxfBnnknkknkkn).(),(lim]1,0[)()()(xfxfBCxfmmnnm，则若很少用。但它收敛太慢，实际中上的一个逼近多项式，在也是）式给出的由（,10,3.1xfxfBnxxxbaCxxspanxbaCxfinxbaCnnni000,,,,,,0,表示为元素来逼近上线性无关的函数集合更一般地，可用一组在.],[,,.)(*)(},,,{span)(*],,[)(:00线性无关其中在某种度量意义下最小使得误差求对函数逼近问题baCxxfxbaCxfnn二、范数与赋范线性空间)(.,||,||||||(3))(;R||,||(2))(;0||||,0,0||||(1)||||三角不等式齐次性正定性时当且仅当，满足条件实数如果存在唯一，，是实数域上的线性空间设SyxyxyxxxxxxSxS定义2.||||||||XSS，记为一起称为与，上的为线性空间则称线性空间赋范范数三种常用范数：，有上的向量例如，对),,(1TnnxxxR.2d)(||||,1d|)(||||||)(|max||||)(],[21221范数称为，范数称为，范数，称为，：，可定义三种常用范数上的类似地，对bababxaxxffxxffxffxfbaC范数或最大范数，称为，||max||||1inixx,1||||||11范数称为，niixx.2||||21122范数称为，niixx三、内积与内积空间.0),(0,0),((4);,)()(),((3);R),()((2);,),()((1)),(,)CR(KuuuuuXu,v,wv,wu,wwvuu,vu,vXu,vuvu,vvuKXvuX时，当且仅当，并满足条件：为中一个数与之对应，记有，上的线性空间，对或是数域设定义3.),(:11nnnyxyxyx定义内积及中向量yxR..),(内积空间内积为称定义了内积的线性空间的与上的为则称vuXvu).(),(RK)(),(u,vuvu,vuv时的共轭，当为.(1.6)).,)(,(|),(|,,2不等式称为有为一个内积空间，对设SchwarzCauchyvvuuvuXvuX2定理.,,,),(),(),(),(),(),(),(),(),(,,,,2121222211121121无关线性非奇异的充要条件是矩阵，则称为矩阵为一个内积空间，设nnnnnnnnuuuGGramuuuuuuuuuuuuuuuuuuGXuuuX定理3只有零解。方程组为系数矩阵的齐次线性以非奇异：.,,1,0),(),()111nkuuuuGGjnjkjknjjj证明.,,1,0),(0),(0)21111nkuuuuuknjjjnjjjnjjjnjjj；反证法线性无关非奇异)(,,,21nuuuG.反之亦然.,(1.10)),(||||,,不等式得出而三角不等式由正定性和齐次性易证它满足范数定义的，记即对范数上可以由内积导出一种在内积空间SchwarzCauchyuuuXuX.CR的内积和范数与考察nn例1，则定义设nTnTnyyyxxxR),,(,),,(11则定义为权系数若给定,),,1(0niininiiiixxyxyx11/2122.||||),(；范数内积niniiiiiixxyxyx11/2122.||||),(；范数内积niiiinyxyxyx1.),(C,，则定义加权内积若.],[)(0)(],[,0d)()(),(],[(2);,2,1,0,d)((1),],[)(权函数定义4上的为就称；上则在若上的非负连续函数对于存在如果满足条件上的非负函数是区间设baxxgbaxxxgxgbakxxxbaxbabak无限区间可以有限或定义内积则可上的权函数为设,],[)(],,[)(),(baxbaCxgxf例2.d)()(||)(||2/122baxxfxxf.d)()()(),(xxgxfxgfba四个性质，并导出范数容易验证内积定义中的.d)()(),(,1baxxgxfgf.d)(||)(||2/122baxxfxf),(),(),(),(),(),(),(),(),(),,(1011101010000nnnnnnnGG0.)det(,,30Gn线性无关，根据定理矩阵为则设GrambaCn],,[,,0§2正交多项式一、正交函数族与正交多项式.],[)()((2.1)0d)()()(),(,],[)(],,[)(),(带权ρ(x)正交定义5上在与则称，且上的权函数为若baxgxfxxgxfxgfbaxbaCxgxfba.,1,.],[)}({(2.2)),2,1,0,(,,0,,0))(),((,),(,),(),(],[10标准正交函数族数族带权ρ(x)的正交函则称该函数系为时当特别地上为则称函数族且满足给定函数族设在knkkinAbaxkikiAkixxxxxba,],[,,2sin,2cos,sin,cos,1上的正交函数族为例如，三角函数族xxxx.0,)sin,(sin)cos,(cos,2)1,1(其他内积kxkxkxkx.],[)()(.],[)()}({(2.2),)}({,],[)(,0],[)(00交多项式次正上的为权函数的为以称多项式序列上的正交为权函数的为以，则称满足正交性若多项式序列上的权函数为次多项式的上首项系数是设nbaxxpbaxxpxpbaxnabaxpnnnnn定义6:},,,1{,)(],[交多项式序列正交化手续立得正交正利用逐个由上的权函数只要给定nxxxba(2.3).,2,1,),(),()(,0)(100nppppxxxpxpjnjjjjnnn.)(,0),()3(.)(,),(),()()2(.1)()(110项式正交的多与任一次数小于且时，当的线性组合均可表为的首项系数为性质：kxpppjkxpxpxpHxQxpkkjnnnn,,2,1),/(),(),,/(),(0)(1)((2.4),,1,0),()()()(4111011npppppppxpxpxpnxpxpxxpnnnnnnnnnnnnnnn，，，其中）有递推关系（;),()1)((.],[)()}({50内的单重实根个根都是在的则序列上的正交多项式为权函数的为以）设（bannxpbaxxpnn.),(),(,),(),(,0)()(2.4,2,1),()()()(1121111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnppppaaapppxpaaaaxpnxpxpxxp，其中，并有二、勒让德多项式.式Legendre多项次称为的正交多项式上带权区间n(2.5)),2,1,0(],)1[(dd!21)(1)(]1,1[2nxxnxPxnnnnn.)!(2)!2(!2)1()12(22nnnnnnannn其首项系数(2.6)),2,1,0(],)1[(dd)!2(!)(~12nxxnnxPnnnn勒让德多项式为的首项系数为:勒让让德多项式性(2.7).,122,,0d)()(11nmnnmxxPxPnm正交性(1)(2.8).)()1()(xPxPnnn奇偶性(2).n)1,1()(个互异的实零点内部有在xPn(3)(2.9)),2,1(),(1)(112)(,)(,1)(1110nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn递推关系(4)),35(21)(),13(21)(3322xxxPxxP可得三、切比雪夫多项式切比雪夫多项式.次称为正交化所得正交多项式，序列权函数为区间为n},,,1{11)(],1,1[2nxxxx.0),cos()(cos(2.10)),2,1,0,11(),arccoscos()(nxTxnxxnxTnn，则若令可表为,34)(,12)arccos2cos()(,)cos(arccos)(,1)0cos()(332210xxxTxxxTxxxTxT:切比雪夫多项式的性质(2.11)).()(2)(,)(,1)()1(1110xTxxTxTxxTxTnnn递推关系1).(n,2)(1nnnxxT的系数为的最高次幂.,cos.1,)1cos(coscos2)1(cos即得递推关系式代入事实上，只需由xnnnn(2.12).0,,0,2/,,0d)()(11)2(112nmnmnmxxTxTxnm正交性.;)()3(的偶次幂只含为偶数时为偶函数，且当的奇次幂只含为奇数时为奇函数，且当奇偶性xnxnxTn),,2,1(,2)12(cosn]1,1[)()4(nknkxxTkn个不同的零点上有在.}{11),,2,1,0(,cos1n]1,1[)()5(称为交错点组，和最小值轮流取得最大值个不同的极值点上有在kknxnknkxxT四、其他常用正交多项式第二类切比雪夫多项式1..多项式第二类切比雪夫称为的正交多项式上带权区间(2.14),1]arccos)1sin[()(1)(]1,1[22xxnxUxxn.,2/,,0d1)()(112nmnmxxxUxUnm).()(2)(,2)(,1)(1110xUxxUxUxxUxUnnn拉盖尔多项式2..拉盖