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空间几何体的三视图和直观图能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测法画出它们的直观图．了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．2011·考纲下载从近三年的新课标高考试题来看，三视图已成为必考内容，应引起高度重视.请注意!课前自助餐课本导读1．几何体的三视图是指：正视图、侧视图、俯视图．又称为：主视图、左视图、俯视图．2．三视图的画法要求(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，单位不注明，则按mm计．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廊线．画三视图的基本要求是：“正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽”．(3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则．3．平面图形的直观图画法在斜二测画法中，平行于x轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度减半．4．平行投影的投影线互相平行；中心投影的投影线相交于一点．教材回归1．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是()A．球B．正方体C．圆锥D．长宽高互不相等的长方体答案C2．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a的等腰三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积是________．答案32πa2＋3a2解析由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为12×2a×2πa＝2πa2，底面积为πa2，观察三视图可知，轴截面为边长为2a的正三角形，所以轴截面面积为12×2a×2a×32＝3a2，则该几何体的表面积为32πa2＋3a2.3．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成正视图俯视图侧视图答案44．(2010·福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．答案6＋23解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱．则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6，上、下底面面积都为34×22＝3，所以此三棱柱的表面积为6＋23.5．(2010·天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．答案3解析该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋22×2＝3，高为1，故其体积等于3.授人以渔例1(1)(2010·广东卷)如图，ΔABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝32BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图是)()题型一画简单组合体的三视图【解析】由题知AA′BB′CC′，正视图为选项D所示的图形．【答案】D(2)下列图形中的图(b)是根据图(a)中的实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？若不正确请改正并画出左视图．【解】主视图和俯视图都不正确．主视图的上面的矩形中缺少中间小圆柱形成的轮廊线(用虚线表示)；左视图的轮廊是两个矩形叠放在一起，上面的矩形中有2条不可视轮廊线，下面的矩形中有一条可视轮廊线(用实线表示)，该几何体的三视图如图所示：探究1简单几何体的三视图的画法应从以下几个方面加以把握：(1)搞清主视、左视、俯视的方向，同一物体由于放置的位置不同，所画的三视图可能不同．(2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成．(3)画三视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，还要注意几何体中与投影垂直或平行的线段及面的位置关系．思考题1如图(1)所示的几何体的三视图(图2)错误的是(不考虑尺寸)．【解】正确的三视图如下图，故错误的是左视图和俯视图．例2(1)(2010·新课标全国)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱【解析】三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．【答案】①②③⑤题型二由三视图还原成实物图(2)(2010·辽宁卷)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．【解析】将几何体的三视图还原为直观图：四棱锥P－ABCD，如图将直观图补成一个正方体，显然最长的一条棱的长PB，即为正方体的对角线长，易知正方体的棱长为2，所以对角线长为23.【答案】23探究2三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廊线的正投影围成的平面图形，给出三视图作空间几何体需要极强的空间想象能力．思考题2三视图如图的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台【解析】几何体底面为四边形、侧面是三角形．【答案】B例3由下列几何体的三视图画出直观图．【解析】(1)画轴．画x′轴，y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.题型三由三视图画直观图(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的侧棱长．(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，加以整理，去掉辅助线改被遮挡部分为虚线．如图②所示．探究3空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系．三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，并得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸)．直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象．若要已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图：要会从“三视图——空间几何体——直观图”中进行转换．思考题3已知几何体的三视图，如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．(单位：cm)【解析】由三视图可知其几何体是底面边长为2cm，高为3cm的正六棱锥，其直观图如图①所示，画法：(1)画轴：画底面中心O′，画x′轴y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在水平面x′O′y′内画边长为2cm正六边形的直观图．(3)画高线：在O′z′上取点P′，使O′P′＝3cm.(4)成图：连结P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′(画侧棱)去掉辅助线，并且遮住部分改为虚线，就得到如图②所示的直观图．题型四根据三视图求面积、及体积例4(2010·天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．【解析】由三视图可知本题的几何体是：下面是一个正四棱柱，上面是一个正四棱锥．于是可以得到体积是1×2＋13×2×2×1＝103.探究4给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得．此类题目称为新课标高考的热点，应引起重视．【答案】103思考题4(2010·湖南卷)如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.【解析】由题可知，13×12×5×6×h＝20⇒h＝4(cm)．故填4.【答案】4本课总结1．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廊线都用实线画出，被挡住的轮廊线画成虚线．并做到“长为正、高平齐、宽相等”．2．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力．课时作业（36）