搜索
3.2《数系的扩充与复数的引入》习题§3.2复数的四则运算课时目标1.理解复数四则运算的定义.2.掌握复数四则运算法则，能够熟练地进行复数的运算.3.理解共轭复数的概念．1．复数的加减法(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di.则z1＋z2＝__________.z1－z2＝__________.它们类似于多项式的合并同类项．(2)复数的加法满足交换律与结合律，即z1＋z2＝________.(z1＋z2)＋z3＝____________.(3)复数减法是加法的__________．2．复数的乘除法(1)z1·z2＝________________，z1z2＝a＋bic＋di＝________________.(2)复数乘法满足交换律、结合律、分配律，即z1z2＝__________.(z1z2)z3＝__________.z1(z2＋z3)＝__________.3．共轭复数若z＝a＋bi，则记z的共轭复数为z，即z＝________.共轭复数的性质①zz∈R，z＋z∈R；②z＝z⇔z∈R.一、填空题1．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2＝__________.2．已知a是实数，a－i1＋i是纯虚数，则a＝________.3．复数i3(1＋i)2＝________.4．已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.5．设i是虚数单位，则i3＋i－1＝________.6．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是________．7．已知复数z＝1＋i，则2z－z＝________.8．若21－i＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.二、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)1＋i1－i6＋2＋3i3－2i.10．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．能力提升11．已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z.12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．1．复数加减法可以类比多项式加减中的合并同类项．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i2换成－1.3．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．4．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．§3.2复数的四则运算答案知识梳理1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3)(3)逆运算2．(1)(ac－bd)＋(bc＋ad)iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)z2·z1z1·(z2z3)z1z2＋z1z33．a－bi作业设计1．4＋2i解析z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.2．1解析a－i1＋i＝a－－＋－＝a－1－a＋2＝a－12－a＋12i，因为该复数为纯虚数，所以a＝1.3．2解析i3(1＋i)2＝i3·2i＝2i4＝2.4．1解析∵a＋2ii＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.5．－1解析∵i＋1i－1＝＋2－－＋＝2i－2＝－i，∴i3＋i－1＝i3·(－i)＝－i4＝－1.6．x＝－1，y＝1解析x－2＝3x，y＝－(－1)，即x＝－1，y＝1.7．－2i解析2z－z＝21＋i－1－i＝－＋－－1－i＝－2i.8．2解析由21－i＝a＋bi，得2＝(a＋bi)·(1－i)，∴2＝a＋b＋(b－a)i，(a，b∈R)，由复数相等的定义，知a＋b＝2.9．解(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.(3)方法一原式＝1＋i226＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.方法二(技巧解法)原式＝1＋i226＋2＋3ii3－2ii＝i6＋2＋3ii2＋3i＝－1＋i.10．解设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴4a2＝4，a2＋b2＝2，∴a＝1，b＝1，或a＝1，b＝－1，或a＝－1，b＝1，或a＝－1，b＝－1.∴x＝1＋i，y＝1－i，或x＝1－i，y＝1＋i，或x＝－1＋i，y＝－1－i，或x＝－1－i，y＝－1＋i.11．解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由题意得(a＋bi)(a－bi)＋2(a＋bi)i＝4＋2i，∴a2＋b2－2b＋2ai＝4＋2i，∴a2＋b2－2b＝4，2a＝2.∴a＝1，b＝3，或a＝1，b＝－1.∴z＝1＋3i或z＝1－i.12．解设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，由复数相等的充要条件得x20＋kx0＋2＝02x0＋k＝0，解得x0＝2k＝－22或x0＝－2k＝22，∴方程的实根为x＝2或x＝－2，相应的k值为k＝－22或k＝22.