余弦定理的三种证明

ABCcbaCBADabcABCDabc△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用,,abc表示.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即222=+-2coscababC,222=+-2cosbacacB,222=+-2cosabcbcA证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1根据勾股定理:222=+cab因为cos=0C,所以222=+-2coscababC因为cos=aBc,所以222=+-2cosbacacB因为cos=bAc,所以222=+-2cosabcbcA（2）在锐角△ABC中，如图1-2作CDAB于点D，有=sin,=cosCDaBBDaB，=-=c-cosADABBDaB2222222=+=(sin)+(-cos)=+-2cosbCDADaBcaBacacB同理可证：222=+-2coscababC,222=+-2cosabcbcA（3）在钝角△ABC中，如图1-3作CDAB，交AB的延长线于点D，则=sin=sin,=cos=-acosBCDaCBDaBBDaCBD，=+=c-cosADABBDaB2222222=+=(sin)+(-cos)=+-2cosbCDADaBcaBacacB按照（2）的方法可以证明：222=+-2coscababC,222=+-2cosabcbcA综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.ABCbcaACBxyObca证明：在△ABC中，令=ABc，=ACb，=BCaaBCBAACbc222222||()2||2||||cos||abcbbccbbcAc即222=+-2cosabcbcA同理可证：222=+-2coscababC,222=+-2cosbacacB证明：对于任意一个ABC，建立直角坐标系如图所示，那么(cos,sin)AbCbC，(,0)Ba因为余弦定理中涉及到2c，我们自然想到计算AB的长度。根据两点间的距离公式，我们有：222222||(cos)(sin)2coscABbCabCababC，即2222coscababC