D5-1-3 全微分 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第三节一元函数y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d全微分一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成,)(oyBxAz其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分,记作yBxAfzdd若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.yBxA(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定义:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数yyzxxzzdxz同样可证,Byz证:由全增量公式,0y令)(xoxA必存在,且有得到对x的偏增量xxx因此有xzxx0limA反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff但])0,0()0,0([yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意:定理1的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微!即:0,2222yxyxyx0,022yx]),([yyxxf定理2(充分条件)yzxz,证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx]),([y)yy,x(f2yxyyxxfx),(1),(yyxf)],([yxf),(yyxfyyxfy]),([若函数的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数yx在点可微.0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(o例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexz例2.计算函数的全微分.解:udyyd)cos(221yz,yxeyyxexzyez内容小结1.微分定义:zzdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系:)(o函数可导函数可微偏导数连续函数连续记住这个表思考与练习函数),(yxfz在),(00yx可微的充分条件是();),(),()(00连续在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量.1.选择题Dzfyfxffzyyd)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(2.设解:xxxfcos3)0,0,(0cos3)0,0,0(xxxfx41利用轮换对称性,可得41)0,0,0()0,0,0(zyff)dd(d41zyx(L.P245例2)注意:x,y,z具有轮换对称性答案:3.已知作业作业