粘性流体力学精确解

粘性流体力学（朱克勤许春晓）第三章粘性流体运动方程的精确解33第三章粘性流体运动方程的精确解自从建立了以NavierStokes方程为核心的粘性流体运动方程组，人们就开始致力于寻求在各种定解条件下粘性流体运动方程的精确解。精确解对于深入认识和分析流体运动规律具有重要意义，它也为检验各类数值方法的可靠性和精确度提供重要的依据，作为基本流场的精确解也是流动稳定性分析的出发点。NavierStokes方程是一个非线性的二阶偏微分方程，在许多情况下，求粘性流体运动的精确解是一件非常困难的工作。迄今为止，可以得到精确解的流动例子非常有限①。本章首先介绍平行剪切流，由于这时NavierStokes方程的非线性项为零，寻求这一类流动的精确解，数学上处理起来比较容易。然后将讨论包含有非线性项的NavierStokes方程精确解的几个著名例子。3.1平行平板间的定常剪切流考虑相距2h的两块无限大平行平板，下板静止，上板沿水平方向以匀速U运动。平板间的不可压缩粘性流体在恒定的压力梯度d/dpx和运动平板的作用下沿x方向作定常运动。在图3.1所示的直角坐标系中，流体运动速度只有沿x方向的分量u，并且只是坐标y的函数。这里流线相互平行，称为平行剪切流。连续方程自动满足，由于非线性项为零，SN方程(2.5.11)在x方向的投影为22dd0ddpuxy(3.1.1)边界条件0hu，Uhu(3.1.2)将常微分方程(3.1.1)积分两次，并利用边界条件确定积分常数可得到速度分布222d112d2hpyUyuxhh(3.1.3)其中第一部分是由于压力梯度引起的，为抛物线分布，与流体粘性系数有关；第二部分是由于平板运动引起的，为线性分布，与流体粘性系数无关。根据速度分布可以求出通过单位宽度平板间的体积流率32d3dhhhpQudyUhx(3.1.4)平均流速是21d123d2hpuQUhx(3.1.5)相应的切应力①关于SN方程精确解的详细述评可见参考文献[2]。yU2hx图3.1平行平板间的剪切流粘性流体力学（朱克勤许春晓）第三章粘性流体运动方程的精确解34dd2yxupUyyxh(3.1.6)当d/d0px时，切应力的最小值和最大值分别在上板面和下板面处出现。在粘性流体力学中，将单纯由压力梯度引起的流动称为Poiseuille流动，比如管道中的流动；将由运动固壁引起的流动称为Couette流动，比如本节讨论的平行壁间的剪切流。Couette流动允许压力梯度存在，没有压力梯度的Couette流动称为简单Couette流动。在以上问题中，如果没有压力梯度，平板间是两层互不掺混的粘性流体，厚度分别为1和2，粘性系数分别为1和2，且21。这时动量方程仍是方程(3.1.1)，求解时以流体的界面为界将流场分成两个区域，积分后共有四个积分常数需要确定，除了原有的两个固壁边界条件外，在界面处增加速度和切应力连续的两个条件，便可解得速度分布UyUV,yUV12122112122121(3.1.7)粘性大的流体层速度梯度较小。应该特别指出的是，在流体的界面处，两侧流场的涡量是不连续的。3.2同轴圆筒间的定常流3.2.1同轴旋转圆筒间的Couette流考虑两个同轴圆筒间的粘性流体，内筒的外径为a1，外筒的内径为a2。圆筒作匀速旋转，角速度分别为1和2。旋转式圆筒型粘度计内的流动可归入这一类流动（见图3.3）。假定圆筒足够长，可以忽略圆筒底部壁面的影响。在筒壁带动下流体作轴对称定常运动，引入柱坐标系z,,r。本问题的流场中，流体运动速度只有沿方向的一个分量Vu，速度只与坐标r有关。这时，连续方程自动满足，NS方程的非线性项为零，在方向上的投影式(2.5.15b)可简化为22dd0dduurrr(3.2.1)满足筒壁边界条件111au,ar(3.2.2)222au,ar(3.2.3)的速度分布为x1221110y图3.2平行板间的分层剪切流1a2a0图3.3同轴圆筒间的流动粘性流体力学（朱克勤许春晓）第三章粘性流体运动方程的精确解35212221211222212211aaraaraau(3.2.4)由(2.5.18)得到涡量场222211222121zaarurraa(3.2.5)它的特点是与r无关。在两种情况下涡量场为零，其一是内外筒半径和旋转角速度满足关系112222aaK时，这是涡量场变号的临界情况，这时的速度分布为r/Ku。其二是在20的同时让a2，这时速度分布退化为r/au211，这相当于一个涡核半径为a1的位势涡；根据1.2.3节的分析，其涡量为零是由于流场中曲率涡量和切变涡量正好相互抵消的结果。进一步计算切应力22122122221d2draauurrraa(3.2.6)这表明内筒壁面上受到的摩擦切应力较大，外筒壁面上受到的摩擦切应力较小。但是在单位长度的圆筒面上，内外筒面受到的摩擦力矩是相同的，等于22122122214aamaa(3.2.7)上式表明，只要给定内外圆筒的半径和角速度，通过测定圆筒受到的摩擦力矩就可以确定出流体的粘性系数，式(1.1.9)给出的是它的一种特殊情况。3.2.2同轴圆筒间的轴向流仍考虑图5.3所示的同心圆筒，边界条件变为外管固定，内管以匀速U沿轴向运动，轴向压力梯度为d/dpz，流体速度仅有沿轴向的一个分量，只是坐标r的函数。在柱坐标系中，速度可表示为ruVz。这时连续方程自动满足，考虑到流动的轴对称性，NS方程在z方向上的投影为22dd1d0dddpuuzrrr(3.2.8)其中对流项为零，方程是线性的。筒壁上的边界条件是Uu,ar1(3.2.9)0,2uar(3.2.10)满足边界条件的速度分布解为21222111ln/1d1ln14dlnlnrapruaraUza(3.2.11)粘性流体力学（朱克勤许春晓）第三章粘性流体运动方程的精确解36其中21/aa。当内圆管也静止时，为同轴圆筒间的Poiseuille流，可求出最大速度发生在位置2221212ln/maaraa(3.2.12)最大速度值为2221211d1ln4dmmmrpVarza(3.2.13)3.3充分发展了的管流直管道中流体的运动是一个具有实际应用背景的问题。本节讨论充分发展了的管流，即无限长管道中的Poiseuille流。有关管道入口段的流动和管内流动的起动过程将在以后的有关章节中讨论。3.3.1圆管中的Poiseuille流采用柱坐标系rz,,，z轴与圆管的轴线重合。流体在轴向压力梯度下作定常运动，速度只有沿z轴方向的分量，只与坐标r有关Vurz。这时连续方程可自动满足，动量方程中的对流项0zVVuuez。NS方程在z轴上的投影为1dd1dddduprrrrz(3.3.1)管壁上的边界条件是0aru(3.3.2)方程(3.3.1)可以直接积分，满足管壁粘性边界条件的速度分布为221d4dpuraz(3.3.3)由速度场可求出体积流率42200dd2dd2dd8aappaQurrrarrzz(3.3.4)称为Hagen-Poiseuille公式，平均速度则为2max2d18d2Qapuuaz(3.3.5)流体的切应力可由速度分布(3.3.3)式得到粘性流体力学（朱克勤许春晓）第三章粘性流体运动方程的精确解37ddd2durprz(3.3.6)在壁面上达最大值。管壁的摩擦应力是d42dwapuza(3.3.7)当压力梯度不变时，它与管径成正比。无量纲的表面摩阻系数定义为dwfRe/uc1622(3.3.8)它仅与雷诺数Re/dau2有关。工程中将管道的无量纲阻力系数(Darcy系数)定义为2d264d/2Redpazu(3.3.9)3.3.2矩形截面管中的Poiseuille流在有些情况下，也会遇到非圆形截面的管道，本节讨论矩形截面管内的流动。在图5.4所示的直角坐标系中，已知管内的压力梯度d/dpx、矩形管截面的尺寸ba22。流体运动速度仍只有沿x轴方向的一个分量，但它是两个坐标y和z的函数。这时连续方程自动满足，动量方程的对流项为零。考虑到流动定常，描述该问题的SN方程在x方向的投影为2222d0dpuuxyz(3.3.10)固壁的粘附边界条件为00bzayu,u(3.3.11)将解写成平行平板间Poiseuille流动分布的修正形式221d,2dpuyafyzx(3.3.12)其中fyz(,)是一待定函数。代入方程（3.3.10）后，得到22220ffyz(3.3.13)边界条件相应变为221d0,2dyazbpffayx(3.3.14)yabxbaz图3.4矩形截面管及坐标系粘性流体力学（朱克勤许春晓）第三章粘性流体运动方程的精确解38用分离变量法求解方程（3.3.13），令)z(Z)y(Y)z,y(f(3.3.15)代入（3.3.13）式后得到02YY(3.3.16)和02ZZ(3.3.17)方程（3.3.16）满足边界条件的解为21cos,0,1,2,2nnYAyna(3.3.18)方程（3.3.17）的解为21cosh,0,1,2,2nnZCzna(3.3.19)考虑到边界条件（3.3.14）最后有12323021cosh3212121cos21221cosh2nnmnzuynaynUaanba(3.3.20)其中2d2dmapUx(3.3.21)为二维Poiseuille流的速度最大值。该解为一个三角函数和双曲函数的无穷级数的求和。3.3.3椭圆截面管中的Poiseuille流取直角坐标系x轴与管轴方向一致，已知管内的压力梯度d/dpx，速度只有x方向的分量z,yuVx。参见图3.4，管截面取成椭圆。NS方程在z方向的投影为2222ddpuuxyz(3.3.22)在椭圆边界12222bzay处，固壁边界条件0u(3.3.23)由此可以判断速度分布满足nbzayCu12222(3.3.24)粘性流体力学（朱克勤许春晓）第三章粘性流体运动方程的精确解39对于二阶微分方程，要确定常数，幂次n只能取1，代入(3.3.22)得到2222dd2pabCxab，最后有1222222222bzaybabadxdpu(3.3.25)3.4非定常平行剪切流本节讨论非定常流动。在变化万千的自然界观察到的流动绝大部分是非定常流，从空中鸟类的飞翔到水中鱼类的遨游，从大气中的气旋和龙卷风到江河湖海中的波涛，都是典型的非定常流。在人类的生产实践活动中，随着科学技术的进步，非定常流的研究已日趋重要。以飞机为例，当研究主要集中在巡航飞行阶段，在不考虑大气紊流和突风的情况下，可以使用定常流模型。在涉及机动性、升空和降落、复杂气候条件下飞行等现代飞行器所关心的问题时，必须研究非定常流问题。在流体力学中，根据流动时间相关性的起因，可以把非定常流分成两大类。第一类非定常流动的时间相关性直接来源于外部条件的非定常，它可以是作非定常运动的界面边界，比如平