中考热点题型之阿氏圆

第1页共5页阿氏圆整理例题讲解：例1、如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若12CC＝65，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋23E′B的最小值．解：（1）把点A（4，0）代入y＝ax2＋(a＋3)x＋3，得16a＋4(a＋3)＋3＝0．解得a＝－34．∴抛物线的函数表达式为：y＝－34x2＋94x＋3．把x＝0代入上式，得y＝3．∴点B的坐标为（0，3）．由A（4，0），B（0，3）可得直线AB的函数表达式为：y＝－34x＋3．（2）根据题意，得OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，点P的坐标可表示为(m，－34m2＋94m＋3)．∴PE＝－34m2＋94m＋3……………………………………………………①∵△AEN∽△AOB，∴ANAB＝NEBO＝AE4．∴AN5＝NE3＝4－m4．∴AN＝54(4－m)，NE＝34(4－m)．第28题图2xyMNPBAOEE'第28题图1xyMNPBAOE第2页共5页∵△PMN∽△AEN，且12CC＝65，∴PNAN＝65．∴PN＝65AN＝65×54(4－m)＝32(4－m)．∴PE＝NE＋PN＝34(4－m)＋32(4－m)＝94(4－m)………………………...②由①、②，得－34m2＋94m＋3＝94(4－m)．解得m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．∴m的値为2．（3）在（2）的条件下，m的値为2，点E（2，0），OE＝2．∴OE′＝OE＝2．如图，取点F(0，43)，连接FE′、AF．则OF＝43，AF＝42＋(43)2＝4310．∵OFOE′＝432＝23，OE′OB＝23，且∠FOE′＝∠E′OB，∴△FOE′∽△E′OB．∴FE′E′B＝23．∴FE′＝23E′B．∴E′A＋23E′B＝E′A＋FE′≥AF＝4310．∴E′A＋23E′B的最小值为4310．巩固练习：1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，12APBP最小值为（）A、37B、6C、217D、4第28题答案图xyFBAOEE'第3页共5页CBAP2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则22PAPC的最小值是．CBAP3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则32PBPD的最小值为．CDAPEB4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是．5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值．yx第4页共5页（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求23PDPC的最小值和23PDPC的最大值．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值．DACDACDABBBPPPC图1图2图3套路总结阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PCkPD第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPmOD；第四步：在OD上取点M，使得OMmOP；第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．第5页共5页1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．