天津大学计算机控制系统――2 计算机控制系统分析

计算机控制系统授课教师：孟庆浩授课对象：自动化专业本科生授课时间：2010/2011学年第2学期‡计算机控制系统稳定性分析‡计算机控制系统动态分析‡计算机控制系统稳态分析‡计算机控制系统根轨迹分析‡计算机控制系统频域分析第六章计算机控制系统分析slide3稳定性的含义是什么？slide4如何将S平面的稳定性分析方法拓展到Z平面？连续系统稳定性分析离散系统稳定性分析S平面Z平面映射？slide5S平面与Z平面的相互关系sTez=ωσjs+=表6-1S平面与Z平面关系TeeeezTTjTTjωσωσωσ∠=⋅==+)(⎪⎩⎪⎨⎧=∠===TzezRTωθσ复变量z的模R及相角θ与复变量s的实部和虚部的关系为：1.S平面与Z平面整体映射关系slide6S平面与Z平面的相互关系（续一）Tωθ=表6-2角频率ω与z平面相角关系2.角频率ω与Z平面相角关系Tsπω2=slide7S平面与Z平面的相互关系（续二）表6-3主带与旁带映射到z平面3.S平面上的主带与旁带在Z平面映射关系slide8S平面与Z平面的相互关系（续三）3.S平面上的主带与旁带在Z平面映射关系图6-1主带映射图6-2旁带映射slide9S平面与Z平面的相互关系（续四）4.S平面上平行线与Z平面映射关系表6-4平行线的映射slide10S平面与Z平面的相互关系（续五）图6-4虚轴平行线的映射图6-3实轴平行线的映射slide11S平面与Z平面的相互关系（续六）5.S左半平面主带在Z平面映射表6-5主带左半平面的映射slide12S平面与Z平面的相互关系（续七）5.S左半平面主带在Z平面映射图6-5S平面主带左半平面的映射slide13S平面与Z平面的相互关系（续八）6.S右半平面主带在Z平面映射图6-6S平面主带右半平面的映射slide14离散系统稳定的充要条件【连续系统】连续系统稳定与否取决于闭环系统特征根在S平面上的位置。若特征根全在S左半平面，则系统稳定，只要有一个根在S平面的右半平面或虚轴上，则系统不稳定。【离散系统】根据S平面和Z平面的映射关系，离散系统稳定的充要条件是所有特征根全部位于Z平面单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为系统不稳定。slide15离散系统稳定的充要条件（续一）【稳定条件的简单数学推导】假如该脉冲传递函数有n个相异的极点pi，且m＜n，对上式做部分分式分解(6-1)(6-2)slide16离散系统稳定的充要条件（续二）【注】为了求解系统的稳定性，就需要求出它的全部特征根。和连续系统一样，判断离散系统稳定性并不必求出特征根的具体数据，而只要了解特征根的位置就可以了。由于连续系统是利用特征方程的系数来判定特征根实部的符号，而在离散系统中，则应利用特征方程的系数来判定特征根的模的大小。所以连续系统的稳定性代数判据不能用于离散系统中。得到离散系统稳定的充要条件是所有特征根的模都要小于1，即ip＜1，i=1,2,…,nslide17离散系统的稳定判据0)(D0111=++++=−−azazazaznnnnL1.朱里（Jury）稳定判据设离散控制系统特征方程为其中a0,a1,…an为实数，an大于零。首先按多项式系数构造朱里阵列表（见表6-6）islide18离散系统的稳定判据（续一）表6-6朱里阵列格式slide19离散系统的稳定判据（续二）slide20离散系统的稳定判据（续三）例6-1.【】slide21离散系统的稳定判据（续四）11－＋wwz=2.双线性变换的劳斯（Routh）稳定判据图6-7Z平面与W平面的映射关系wwz−+=11或来源?slide22离散系统的稳定判据（续四）表6-7劳斯行列式slide23离散系统的稳定判据（续五）例6-2.离散系统如图6-8所示，T＝1s，试求系统的临界放大倍数Kc。图6-8线性离散系统框图【解】系统开环脉冲传递函数为368.0368.1264.0368.0))(()1()(G210+−+=−=−zzzKssGZzzslide24离散系统的稳定判据（续六）0.3680.632Kslide25采样周期与系统稳定性例6-3.已知一采样系统的开环传递函数为‡计算机控制系统稳定性分析‡计算机控制系统动态分析‡计算机控制系统稳态分析‡计算机控制系统根轨迹分析‡计算机控制系统频域分析第六章计算机控制系统分析slide27动态特性指的是什么？slide28采样系统的脉冲传递函数的一般形式为：()11101110mmmmnnnbzbzbzbGzzazaza−−−−++++=++++LL()()()()()()()1212mnKzZzZzZGzzPzPzP−−−=−−−LL利用部分分式法可得：nnPzAPzAPzAzG−++−+−=L2211)((令m＜n)slide29讨论极点位置不同时系统的响应()0001≠=⎩⎨⎧=kkkδ单位脉冲序列()[]1=kZδ()()()()()()[]zGZkhzGzRzGzY1−===单位脉冲响应序列为：∑=−=nikiipAkh11)(若输入为单位阶跃信号，则系统输出响应序列可表示为：1)(R−=zzz∑=+⋅=nikiipAkTAk10)(1)(y其中A0是常数项，为系统输出的稳态增益slide30图6-9不同位置的实数极点与脉冲响应的关系1实数轴上单极点所对应的脉冲响应slide31图6-10共轭复数极点与脉冲响应的关系2一对共轭复数极点所对应的脉冲响应‡计算机控制系统稳定性分析‡计算机控制系统动态分析‡计算机控制系统稳态分析‡计算机控制系统根轨迹分析‡计算机控制系统频域分析第六章计算机控制系统分析slide33误差Z传递函数：()()()1RzEzGz=+利用终值定理：()()()()11limlim1kzRzzeekzGz→∞→−⎛⎞∞==⎜⎟+⎝⎠离散系统稳态误差图6-11单位反馈系统slide341、单位阶跃输入()1zRzz=−0型系统：1型及以上系统：()0e∞=2、单位斜坡输入()()21TzRzz=−0型系统：()e∞=∞2型及以上系统：()0e∞=1型系统：()()()1111111lim1GzzzGzzez+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅+⋅−=∞→（解释）()PKe+=∞11()()()[]()vzzzKzGzTzGzTzTzzGzze1)1(11lim1)1(lim)1(111lim1121＝−=+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅+⋅−=∞→→→()vKe1=∞离散系统稳态误差（续一）slide353、单位加速度输入0型系统：()e∞=∞2型系统：1型系统：()()()[]()azzzKzGzTzGzTzzzTzGzze1)1(11lim1)1(lim)1(21111lim221221321＝）（−=+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⋅+⋅−=∞→→→()∞=∞e离散系统稳态误差（续二）()32)1(2)1(−+=zzzTzR()aKe1=∞2型系统以上系统：()0=∞eslide36对于具有零阶保持器的稳定的离散系统，采样周期T对离散系统的稳态误差有影响吗？离散系统稳态误差（续三）设离散控制系统的结构如下图所示，其中控制器设为D(z)=1R(s)Y(z)G0(s))(zDseTs−−1+-slide37离散系统稳态误差（续四）离散时间控制系统典型闭环结构的稳态误差slide38离散系统稳态误差（续五）离散时间控制系统典型闭环结构的稳态误差‡计算机控制系统稳定性分析‡计算机控制系统动态分析‡计算机控制系统稳态分析‡计算机控制系统根轨迹分析‡计算机控制系统频域分析第六章计算机控制系统分析slide40在线性连续系统中可以用根轨迹法分析系统的性能，同样，在线性离散系统中，也可以在Z平面上绘制根轨迹，从而根据开环系统的信息来判断闭环系统的稳定性以及动态性能。离散系统根轨迹分析法什么是根轨迹法？在线性离散系统中根轨迹的绘制法则共10条，与连续系统情况类似，此处略去。slide41离散系统根轨迹分析法（续一）设典型线性离散系统如图6-12所示图6-12线性离散系统方框图slide42离散系统根轨迹分析法（续二）6-36-46-36-4kkslide43离散系统根轨迹分析法（续三）图6-13线性离散系统框图例6-4已知线性离散系统如图6-13所示，试求在T=1s和T=2s时的根轨迹，并求出相应的临界增益。【】临界增益由根轨迹与单位圆的交点确定slide44离散系统根轨迹分析法（续四）t1=1;t2=2;k=1;n=2;fori=1:nifi=1t=t1;elseifi=2t=t2;endb1=t-1+exp(-t);b2=1-exp(-t)-t*exp(-t);a0=1;a1=1+exp(-t);a2=exp(-t);num=[k*b1,k*b2];den=[a0,-a1,a2];figure(i);rlocus(num,den);title('根轨迹图');holdp=0:0.07:2*pi;x=sin(p);y=cos(p);plot(x,y,'.');holdv=[-4,2,-2,2];axis(v);grid[k,poles]=rlocfind(num,den)end采样周期增大，临界放大倍数？？根轨迹的Matlab程序‡计算机控制系统稳定性分析‡计算机控制系统动态分析‡计算机控制系统稳态分析‡计算机控制系统根轨迹分析‡计算机控制系统频域分析第六章计算机控制系统分析slide46离散系统频率特性定义图6-14离散系统的频率特性【定义】？slide47离散系统频率特性计算两种表示形式(1)指数形式)()()(jwTjwTjwTeGeGeG∠=幅频特性相频特性(2)代数形式)()()(wjVwUeGjwT+=实频特性虚频特性slide48离散系统频率特性计算（续一）数值计算法：按G(ejωt)表达式逐点计算它的幅相频率特性或实频、虚频特性。例6-5.slide49离散系统频率特性计算（续二）【】)arctan(ω−∠slide50离散系统频率特性计算（续三）图6-15幅频和相频特性曲线slide51离散系统频率特性的特点1.离散系统频率特性G(ejωT)是ω的周期函数，其周期为ωs，即2.幅频特性|G(ejωT)|是ω的偶函数。3.相频特性∠G(ejωT)是ω的奇函数。)()()(TjTjseGeGωωω+=slide52离散系统频域极坐标分析法例6-6.设某单位负反馈系统的开环脉冲传递函数为【】slide53离散系统频域极坐标分析法（续一）图6-16例6-6开环频率特性曲线slide54离散系统频域极坐标分析法（续二）奈氏稳定判据：若线性离散系统开环稳定，则闭环线性离散系统稳定的充要条件是开环频率特性在Go(ejωT)平面上不包围（-1,j0）点；若线性离散系统开环不稳定，有N个不稳定极点，则闭环线性离散系统稳定的充要条件是当ω从0变到ωs/2时，开环频率特性在Go(ejωT)平面上正向（逆时针）包围（-1,j0）点N/2次。由奈氏稳定判据可知，当k=0.198时，幅相特性不包括（-1,j0）点，所以闭环系统稳定；当k=0.7584时，幅相特性穿过（-1,j0）点，所以闭环系统处于临界稳定；若k值继续增大到k=1时，幅相特性曲线包围了（-1,j0）点，闭环系统不稳定。slide55离散系统频域极坐标分析法（续三）稳定裕度幅值裕度：时。，当πωω−=∠=)()(111TjoTjoeGeGl时。，当1)()(18022=∠+=°TjoTjoeGeGωωγ相角裕度：图6-17线性离散系统的稳定裕slide56离散系统频域对数坐标分析法和连续系统类似，用频率法分析离散系统时，可用Bode图（对数坐标）进行分析；离散系统的Bode图，是用双线性变换即W变换，将复变量z变换成复变量w。slide57离散系统频域对数坐标分析法（续一）若已知线性离散系统的开环Z传递函数为Go(z),做Z-W变换，令z=(1+w)/(1-w)，得TjezoozGω＝w1w1)((w)G−+==vw(w)v)(GjooGj==为得到线性离散系统的开环频