微积分下册主要知识点

一、第一换元积分法(凑微分法)CxFCuFduugdxxxg)]([)()()()]([.二、常用凑微分公式三、第二换元法CxFCtFdtttfdxxf)]([)()()]([)(,注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有a),22xa可令;sintaxb),22ax可令;tantaxc),22ax可令.sectax当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换tx1.四、积分表续4.3分部积分法xuxuxuxuxuxuaueuxuxubaxuxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfdaafadxaafdeefdxeefxdxfdxxxfxdxfdxxxfabaxdbaxfadxbaxfxxxxxxxxxxarcsinarctancottancossinln)(arcsin)(arcsin11)(arcsin.11)(arctan)(arctan11)(arctan.10cot)(cotcsc)(cot.9tan)(tansec)(tan.8cos)(cossin)(cos.7sin)(sincos)(sin.6)(ln1)(.5)()(..4)(ln)(ln1)(ln.3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221分部积分公式：vduuvudv(3.1)vdxuuvdxvu(3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.一般地,下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m,n都是正整数)..arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn5.1定积分的概念5.2定积分的性质两点补充规定：(a)当ba时,;0)(badxxf(b)当ba时,abbadxxfdxxf)()(.性质1.)()()]()([bababadxxgdxxfdxxgxf性质2,)()(babadxxfkdxxkf(k为常数).性质3bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.性质4.1abdxdxbaba性质5若在区间],[ba上有),()(xgxf则,)()(babadxxgdxxf).(ba推论1若在区间],[ba上,0)(xf则,0)(badxxf).(ba推论2).(|)(|)(badxxfdxxfbaba性质6(估值定理)设M及m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值,则).()()(abMdxxfabmba性质7(定积分中值定理)如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,则在],[ba上至少存在一个点,使).(),)(()(baabfdxxfba5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：xadttfx)()(定理2若函数)(xf在区间],[ba上连续,则函数xadttfx)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3若函数)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数,则)()()(aFbFdxxfba.(3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：（1）,)(,)(ba且bta)(；（2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有dtttfdxxfba)()]([)(.(4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似.但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(tx把变量x换成新变量t时,积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后,不必象计算不定积分那样再把)(t变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.二、定积分的分部积分法baudvbabavduuv][或badxvubabadxuvuv][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(aFFxFdxxfaa)()(|)()(FbFxFdxxfbb)()(|)()(FFxFdxxf二、无界函数的广义积分babadxxfdxxf)(lim)(0.)(lim)(0babadxxfdxxf5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1)由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba，任取],[ba的一个区间微元],[dxxx，求出相应于这个区间微元上部分量U的近似值，即求出所求总量U的微元dxxfdU)(；(2)由微元写出积分根据dxxfdU)(写出表示总量U的定积分babadxxfdUU)(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1)所求总量U关于区间],[ba应具有可加性，即如果把区间],[ba分成许多部分区间,则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量U之和.这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2)使用微元法的关键是正确给出部分量U的近似表达式dxxf)(，即使得UdUdxxf)(.在通常情况下，要检验dxxfU)(是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dxxfdU)(的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元drdA2)]([21所求曲边扇形的面积.)]([212dA三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元,)]([2dxxfdV所求旋转体的体积.)]([2badxxfV四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元,)(dxxAdV所求立体的体积.)(badxxAV5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(yx)对应起来.同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O,作三条相互垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系Oxyz（图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221zzyyxxMM三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程0),,(zyxF，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(zyxF称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程0),,(zyxF的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1)已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2)已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0DCzByAx(1.3)来表示，反之亦然.其中A、B、C、D是不全为零常数.方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌.这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面1222222czbyax)0,0,0(cba(1.4)椭圆抛物面qypxz2222（同号与qp）双曲抛物面zqypx2222(p与q同号)单叶双曲面1222222czbyax)0,0,0(cba双叶双曲面1222222czbyax)0,0,0(cba二次锥面0222222czbyax)0,0,0(cba6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点),(yx，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在),(yx处的函数值记为),(yxf，即),(yxfz，其中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{Dyxyxfzz称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数.当2n时,n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2设函数),(yxfz在点),(000yxP的某一去心邻域内有定义，如果当点),(yxP无限趋于点),(000yxP时，函数),(yxf无限趋于一个常数A，则称A为函数),(yxfz当),(yx),(00yx时的极限.记为Ayxfyyxx),(lim00.或Ayxf),(（),(),(00yxyx）也记作APfPP)(lim0或APf)()(0PP二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3设二元函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx,则称),(yxfz在点),(00yx处连续.如果函数),(yxfz在点),(00yx处不连续，则称函数),(yxfz在),(00yx处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数,若在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义,当y固定在0y而x在0x