微分方程的解与通解

微分方程基础知识的复习一.微分方程中的基本概念二.线性方程的解的结构三.一阶线性常微分方程总是可以求出一般解四.二阶常系数线性齐次常微分方程总是可以求出一般解一.微分方程中的基本概念•1.微分方程及其阶•2.常微分方程与偏微分方程•3.线性微分方程与非线性微分方程•4.齐次微分方程与非齐次微分方程•5.常系数微分方程与变系数微分方程•6.微分方程的解与通解二.线性方程的解的结构•设有二阶线性齐次常微分方程（5）•定理1，•定理2，•定理3，•定理4，()()0ypxyqxy三.一阶线性常微分方程总是可以求出一般解()()()()()()pxdxpxdxpxdxypxyqxyceeqxedx四.二阶常系数线性齐次常微分方程总是可以求出一般解122222121200(1),4044,,22rxrxypyqyrprqpqppqppqrrycece),sincos(,2,24,,,04),3(,)(,204),2(212212212121xcxceyppqirirqpexccyprrqpxxr当当例212212120,cossin;0,;0,;xxyyycxcxyyyceceyycxcEND1.微分方程及其阶•微分方程是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程。•微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。2.常微分方程与偏微分方程•常：未知函数的自变量只有一个的方程，如:•偏：未知函数的自变量有两个或两个以上的方程，物理上常称为数学物理方程如:)()()(22xfyxqdxdyxpdxyd),(22222txfxuatu3.线性微分方程与非线性微分方程•线性：未知函数及其各阶导数在方程中都是一次，如:（1），（2）•非线性：含有未知函数或其各阶导数的二次以上的项，或彼此交叉乘积的项，如:（3）nyxqyxpdxdy)()(4.齐次微分方程与非齐次微分方程•齐次：方程中不含自由项（不含未知函数及其导数的项），如:（1），（3）•非齐次：方程中含有自由项，如:（2），5.常系数微分方程与变系数微分方程•常系数：未知函数及其各阶导数的系数为常数（与自变量无关），如:（4）•变系数：未知函数及其各阶导数项的系数与自变量有关，如:（1），（3）05222ydxdydxyd6.微分方程的解与通解•能够找出一个函数，把这个函数代入微分方程能使该微分方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。•如果微分方程的解中含有任意常数，而且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这个解就称为微分方程的通解（或一般解）。定理1•如果函数y1与y2是方程（5）的两个解，则也是方程（5）的解。2211ycycy定理2•如果函数y1与y2是方程（5）的两个线性无关解，则是方程（5）的通解。2211ycycy定理3•设是y*二阶非齐次线性方程（6）的一个特解，Y是与（6）对应的齐次方程（5）的通解，则是二阶非齐次线性微分方程（6）的通解。)()()('xfyxqyxpy*yYy定理4•如果已知齐次方程（5）的通解为可以用常数变易法求得非齐次线性微分方程（6）的通解。)()()(2211xycxycxY