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第一部分二轮专题突破专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第1讲集合、常用逻辑用语【高考真题感悟】(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．解析因为A∩B＝{3}，当a2＋4＝3时，a2＝－1无意义．当a＋2＝3，即a＝1时，B＝{3,5}，此时A∩B＝{3}．故a＝1.1考题分析“集合”是一重要知识点，是高考必考内容之一．本小题重点考查了集合的表示方法和集合的基本运算．易错提醒(1)对“集合”以及“交集”的概念理解不透．(2)应注意分类讨论．主干知识梳理1．集合的基本概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．3．运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．四种命题及其关系(1)命题的定义可以判断真假的语句叫做命题，可以写成“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．(2)四种命题间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．6．简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词“且”，“或”，“非”用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“綈p”．(2)命题p∧q，p∨q及綈p真假可以用下表来判定.pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7.全称量词与存在量词(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)存在性命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．热点分类突破题型一集合的运算例1已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝x|x≤0或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．思维启迪给定集合满足的条件是不等式，故可以用数轴求解．解A∩B＝{x|－1x2}．∵∁UB＝{x|x≤－1或x3}，∁UP＝x|0x52，∴(∁UB)∪P＝x|x≤0或x≥52，(A∩B)∩(∁UP)＝{x|0x2}．探究提高求涉及不等式的集合的运算时，借助于数轴是常用的方法．变式训练1已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__________．解析因为A∪B＝R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以有a≤1.a≤1题型二命题与逻辑联结词例2已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的有________(填序号)．①(綈p)∨q;②p∧q；③(綈p)∧(綈q);④(綈p)∨(綈q)．思维启迪本题可以根据有关的数学知识判断p、q的真假，再将p、q否定并判断真假，最后，验证答案哪个为真．解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．④探究提高对含有逻辑联结词的命题的真假判断，一是要抓住题目中给出的基本命题的真假判断准则，这需要有其他数学知识作基础；二是要抓住含有逻辑联结词的命题的真假判断准则．变式训练2给定下列四个命题：①“x＝π6”是“sinx＝12”的充分不必要条件；②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；③若ab，则am2bm2；④若集合A∩B＝A，则A⊆B.其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．解析①中由x＝π6⇒sinx＝12，但sinx＝12⇒x＝π6，故①为真命题．②中p∨q为真，但p、q不全为真命题，则推不出p∧q为真，故②为假命题．③中当m2＝0时不成立，故③为假命题．④中A∩B＝A⇔A⊆B，故④为真命题．故答案为①④.①④题型三量词、含有量词的命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些素数是奇数．(2)不论m取任何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．解(1)是存在性命题，其否定为：所有的素数都不是奇数；假命题．(2)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根；真命题．探究提高全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；存在性命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定；而命题的否定是直接否定其结论．变式训练3命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是_______________________．解析命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是一个全称命题，其否定是一个存在性命题，即“存在x∈R，x3－x2＋10”．存在x∈R，x3－x2＋10题型四充分必要条件例4已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．思维启迪先化简两不等式，再利用綈p是綈q的必要不充分条件，求得m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．即p⇒q但q⇒p.∴{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，∴1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9.∴实数m的取值范围为{m|m≥9}．探究提高(1)本题还可以由p、q求得綈p、綈q，再进而求解；(2)一个命题与它的逆否命题是等价命题，故常将綈p是綈q的必要不充分条件，等价转化为q是p的必要不充分条件．变式训练4设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________．解析p：12≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，∴a≤12，a＋1≥1.∴0≤a≤12.0，12规律方法总结1．熟练运用数形结合思想，利用Venn图、数轴、函数的图象来帮助分析和理解有关集合之间的关系，进行集合的运算，训练自己的形象思维能力，从而进一步提高自己的抽象思维与形象思维能力．2．注意利用分类讨论的思想来解决集合之间的关系和含有参数的问题，如在A⊆B的条件下，须考虑A＝∅和A≠∅两种情况，要时刻注意对空集的讨论．3．常见量词的否定原词语＝是都是至少有一个至多有一个否定词语≠≤≥不是不都是一个也没有至少有两个原词语至多有n个所有的或且否定词语至少有n＋1个存在一个且或4．注重利用集合的思想和等价转化的思想来处理简单逻辑问题．如将充要关系的判定转化为集合的包含关系；利用原命题和逆否命题的等价关系进行命题的证明等．名师押题我来做1．已知全集U＝R，集合M＝{x|0x2}，集合N＝{x|x≥1}，则集合M∩(∁UN)＝______________.押题依据“集合”是一最基础的数学知识点，也是一重要的数学知识点，是每套高考试题中必考的知识点．重点考查集合的表示法，元素的性质特征以及集合的基本运算等．本题重点考查了集合的基本运算，同时体现了集合与不等式，难度不大，但重点突出，故押此题．押题级别★★★★★解析∵∁UN＝{x|x1}，∴M∩(∁UN)＝{x|0x2}∩{x|x1}＝{x|0x1}．{x|0x1}{x|0x1}2．下列有关命题的说法错误的是________．(填序号)①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；②“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；③对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋10，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；④若p∧q为假命题，则p、q均为假命题．押题依据常用逻辑用语，是重要的数学基础知识，是高考考查的热点．本题以填空的形式考查了命题、充要条件、量词及简单的逻辑联结词．题目难度适中，体现了对基础知识、重点知识的考查，故押此题．押题级别★★★★解析一个命题的逆否命题是其逆命题的否命题，即将否定的结论当条件，否定的条件当结论构成的命题，故①中的说法是正确的；当x＝1时，一定有x2－3x＋2＝0，但反之，x＝1或2时，有x2－3x＋2＝0，故②中的说法是正确的；对存在性命题的否定是全称命题，故③中的说法是正确的；p∧q为假命题时，只要p，q中至少有一个为假命题即可，不一定p、q均为假命题，故④中的说法是不正确的．故填④.答案④返回