13-信号的功率谱密度

第4章随机信号与线性系统-1-第4章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室[e-mail]第4章随机信号与线性系统-2-随机过程和随机信号的概念当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。随机过程随机信号第4章随机信号与线性系统-3-4.1随机信号的功率谱密度第4章随机信号与线性系统-4-确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。对于确定性信号，其Fourier变换可以反映其频谱特性。0()cos2nnstantp¥==åj2ˆ()()dftsfstetp¥-?=ò第4章随机信号与线性系统-5-Fourier分解的物理意义()st分解各种频率成份的振动第4章随机信号与线性系统-6-频谱与光谱进行对比光谱白光束红橙黄绿青蓝紫三棱镜光谱白光束红橙黄绿青蓝紫三棱镜白光束红橙黄绿青蓝紫三棱镜频谱()st分解()st()st分解第4章随机信号与线性系统-7-如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度第4章随机信号与线性系统-8-若()Xt是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[,]TT-上的平均功率为{}21()d2TTTPEXttT-=ò第4章随机信号与线性系统-9-利用Fourier变换的Parseval等式，可以得到()Xt在(),-ゥ上的平均功率为2j2lim1lim()edd2TTTftTTPPEXttfT¥-p-?=殪镲镲镲犏=睚犏镲犏镲镲腩蝌从上式可以看出，下式所定义的关于频率f的函数第4章随机信号与线性系统-10-2j21()lim()ed2TftXTTSfEXttT-p-禳镲镲镲=睚镲镲镲铪ò反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数()XSf为连续时间随机过程()Xt的功率谱密度。第4章随机信号与线性系统-11-功率谱密度的性质性质4.1设()Xt是定义于¡上的连续时间随机过程，()XSf是其功率谱密度，则有如下性质：①功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，也即()dXPSff¥-?=ò。②≥()0XSf,也即()XSf是一个非负实函数。③实随机信号的功率谱密度是偶函数第4章随机信号与线性系统-12-图4.1实随机信号的功率谱密度是非负偶函数第4章随机信号与线性系统-13-对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin定理定理4.1(Wiener-Khinchin定理)若()Xt为¡上的宽平稳过程，且其自相关函数()XRt满足()Rtt¥-?òdt?，则有j2()()edfXXSfRttt¥-p-?=ò第4章随机信号与线性系统-14-证明由功率谱密度的定义式知{}(){}{}12121212j2j21122j21212j2()1212j2()121()lim()ed()ed21lim()()edd21lim()()edd21lim()e2TTftftXTTTTfttTTTTfttTTTTTfttXTTTSfEXttXttTEXtXtttTEXtXtttTRttT-p-p--*-p--*-p----p---轾轾=犏犏臌臌===-蝌ò蝌蝌12ddtt如图4.2所示，对积分区域作变换第4章随机信号与线性系统-15-122,tttts=-=，则第4章随机信号与线性系统-16-{}{}02j2j22002j2j2202j221()lim()edd()edd21lim()e(2)d()e(2)d2||1lim()e1d22()eTTTffXXTTTTTffXTTTfXTTXSfRRTRTRTTRTTRttttttttsttstttttttttt--p-p----p-p--p-¥--?=+=++-戽鳇镲镲÷ç÷=-ç睚÷ç÷ç镲桫镲铪=蝌蝌蝌òòj2dfttp于是定理得证。第4章随机信号与线性系统-17-对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier变换，因此由Fourier逆变换公式有j2()()edfXXRSfftt¥p-?=ò所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为第4章随机信号与线性系统-18-{}2(0)()()dXXREXtSff¥-?==ò若()Xt为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即()()XXRRtt=-，则()()cos2dXXSfRfttt¥-?=pò第4章随机信号与线性系统-19-例4.1试求Poisson随机电报过程的功率谱密度。解由习题2B-73可知，Poisson随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为2||()eXRatt-=，其中a是信号平均传输速率。由Wiener-Khinchin定理知其功率谱密度为02j22j20222()eedeed1142j22j244ffXSffffattattttaaaa¥-p--p-?=+=+=-p+p+p蝌第4章随机信号与线性系统-20-例4.2设()Xt是定义在¡上的实随机过程，其功率谱密度为()XSf。则()Xt的解析过程()()j()ZtXtXt=+(的功率谱密度为()4()()ZXSfSfUf=其中()Uf为Heavyside函数。解由习题3B-39和例3.29知，()Zt的自相关函数为()2()j()ZXXXRRRttt轾=+臌(第4章随机信号与线性系统-21-对其作Fourier变换，由()()()jsgn()()XXXXSfSfHffSf==-(知()4()()ZXSfSfUf=所以，解析过程没有负功率谱密度。第4章随机信号与线性系统-22-例4.3试求随机相位余弦信号0()cos(2)XtaftQ=p+的功率谱密度()XSf，其中Q是(,)-pp上的均匀分布。解由例2.72知，()Xt为平稳过程，且其自相关函数为20()cos22XRfatt=p则其功率谱密度为第4章随机信号与线性系统-23-002j2022j2()j2()2200()cos2ed2eded44()()44fXffffaSffaaaafffftttttttdd¥-p-?ゥ-p--p+-??=p=+=-++ò蝌其中，用到了常数1的Fourier变换是d函数的性质。由此可见，随机相位余弦信号()Xt的功率集中于频点0f±。第4章随机信号与线性系统-24-例4.4(白噪声过程)如图4.3所示，若宽平稳随机过程()Wt的功率谱密度在任意频点上是常数，即0()/2WSfN=，则称()Wt为白噪声过程,由Wiener-Khinchin定理知其自相关函数为0()()2WNRtdt=若宽平稳随机过程()Xt的功率谱密度为≤0,2()0,XNfwSffwìïïï=íïïïî第4章随机信号与线性系统-25-其中w为某个正常数，则称()Xt为带限白噪声过程。该过程的平均功率为{}200()d2wwNEXtfNw-==ò自相关函数为00j2sin(2)()ed22wfXwNwNRfttttp-p==pò由上式可见，当/(2),1,2,kwkt=?L时，()Xt和()Xtt+互相正交。第4章随机信号与线性系统-26-图4.3白噪声和带限白噪声的功率谱密度第4章随机信号与线性系统-27-互功率谱若()Xt和()Yt是两个随机过程，和随机信号功率谱密度的定义类似，可以定义()Xt和()Yt的互功率谱密度为{}j2j21()lim()ed()ed2TTftftXYTTTSfEXttYttT*-p-p--轾轾=犏犏臌臌蝌和Wiener-Khinchin定理的证明类似，若()Xt和()Yt为两个联合宽平稳的随机过程，且()dXYRttt¥-??ò，则有第4章随机信号与线性系统-28-j2()()edfXYXYSfRttt¥-p-?=òj2()()edfXYXYRfSftt¥p-?=ò式中，()XYRf为()Xt和()Yt的互相关函数。第4章随机信号与线性系统-29-此外，还可以证明互功率谱密度具有以下性质。性质4.2①()();XYYXSfSf*=②≤2()()()XYXYSfSfSf。证明作为练习。第4章随机信号与线性系统-30-例4.5设()Xt和()Yt是两个联合宽平稳过程，试给出()()()ZtXtYt=+的功率谱密度。解()Zt的自相关函数为{}{}()()()()()()()()()()()ZXYXXYYREZtZtEXtYtXtYtRRRRtttttttt**=+轾轾=++++臌臌=+++因此，()Zt的功率谱密度为第4章随机信号与线性系统-31-()[]j2()()()()()ed()()()()()()2Re()fZXYXXYYXYXXYYXYXYSfRRRRSfSfSfSfSfSfSftttttt¥-p-?=+++=+++=++ò在信号分析中，常常要讨论两个联合宽平稳随机过程的和，从上述表达式可以看出，互相关函数及互功率谱密度的概念的引进是必需的。例4.6设联合平稳的两个随机过程()Xt第4章随机信号与线性系统-32-和()Yt的互功率谱密度为１+2其他j,1/21/2()0,XYffSf靝-ppïïï=íïïïî则互相关函数为1/2j21/22()(1j2)ed(sincos)sinfXYRfftttttttpp-p=+p+-=pò第4章随机信号与线性系统-33-4.1.2离散时间随机信号的功率谱密度信号的频率刻画了信号变化的快慢，因而对于离散时间随机过程，只有指定了离散时间的绝对时间间隔0T，功率谱密度才有意义。这时，离散时间随机信号可看成连续时间随机信号每隔0T时间间隔的采样。为了讨论的方便，将绝对时间间隔0T标准化为1。第4章随机信号与线性系统-34-和连续时间随机过程类似，[]Xn的功率谱密度定义为2j21()lim[]e2NnfXNnNSfEXnN-p=-禳镲镲镲=睚镲镲镲铪å而[]Xn和[]Yn的互功率谱密度定义为j2j21()lim[]e[]e2NNnfnfXYNnNnNSfEXnYnN*-p-p=-=-禳禳镲镲镲镲=睚睚镲镲镲镲铪铪邋第4章随机信号与线性系统-35-由定义知，功率谱密度和互功率谱密度是周期为1的函数。和连续时间随机过程的证明完全类似可得Wiener-Khinchin定理。第4章随机信号与线性系统-36-定理4.2若[]Xn宽平稳，其自相关函数为[]XRm，且[]XmmRm¥=-??å，则有j2()[]emfXXmSfRm¥-p=-?=å1/2j21/2()()edmXXRmSffp-=ò若[]Xn和[]Yn联合宽平稳，互相关函数为[]XYRm，且[]XYmmRm¥=-??å，则[]Xn和[]Yn的互功率谱密度为第4章随机信号与线性系统-37-j2()[]emfXYXYmSfRm¥-p=-?=å1/2j21/2()()edmXYXYRmSffp-=ò第4章随机信号与线性系统-38-例4.7(离散时间白噪声过程)设为离散时间随机过程，且是独立同分布的随机变量序列，其均值为零，方差为2Xd，试求()XSf。解离散时间随机过程[]Xn的自相关函数为[]2,00,0XXkRkkdì=ïïï=íï¹ïïî因此，功率谱密度为第4章随机信号与线性系统-39-2()XxSfd=上述过程称为离散时间白噪声过程。第4章随机信号与线性系统-40-例4.8设[][][1]YnXnXna=+-，其中[]Xn为例4.7中的离散时间白噪声过程，试求()YSf。解容易证明[]Yn的自相关函数为{}()其他2221,0[][],10,XXkEYnYnkkadadìï+=ïïïï+==?íïïïïïî因此，功率谱密度为第4章随机信号与线性系统-41-()()()[]222j2j222()1ee12cos2ffYXXXSffasassaap-p=+++=++p第4章随机信号与线性系统-42-例4.9设[][][]ZnXnYn=+，其中[]Xn是要观测的宽平稳实随机信号，且对任意n，[]XnA=，A是一个均值为零且方差