第一章 习题课(B类)

第1页共7页第一章函数、极限与连续习题课（B）1．*设fx可表示成fxFxGx，其中()Fx为偶函数，Gx为奇函数，则Fx=；Gx=。（答案：1[()()]2Fxfxfx；1[()()]2Gxfxfx）2．*已知)(xf在],(ba上连续且)(limxfax存在，则（C）。A．)(xf在],(ba上无界B．)(xf在),[ba上无界C．)(xf在],(ba上有界D．)(xf在),[ba上有界解：)(limxfax存在,则(,]xaa，有()fxM.在],[bδa上)(xf连续且有界,所以选C.3．当x2时，y=3x+17,为了使|y-7|0.001,则应不大于31103。解：|y-7|=3632xx0.001，3102103x。4．根据函数极限的定义证明：21214lim221xxx。证明：2221414421442122122121212xxxxxxxxxx即对于任意给定的0，取2，当02x时，有21422121xxx,1122x。故21214lim221xxx。第2页共7页5．设当0x时，)1ln()cos1(2xx是比nxxsin高阶的无穷小，而nxxsin是比)1(2xe高阶的无穷小，则正整数n等于（B）。A．1B．2C．3D．4解：241(1cos)ln(1)~2xxx,1sin~nnxxx,221~xex.214n,2n.6．*设0x时，tansineexx与nx是同阶无穷小，则n为C。（A）1；（B）2；（C）3；（4）4。解：tansinsintansinsin000eee(e1)e(tansin)limlimlimxxxxxxnnnxxxxxxxx,2001tan(1cos)2limlimnnxxxxxxxx7．*如果21ln(1)0lim(cos)xxx12e。解21ln(1)0lim(cos)xxx201limexpln(cos)ln(1)xxx2021222001limexpln[1(cos1)]ln(1)1cos12limexplimexpexxxxxxxxx8．*已知0lim2(3)xxfx，则0(2)limxfxx。解：0(3)1lim2xfxx，000(3)2(2)1(2)1limlimlim.23233xttfxtftftxtxt令第3页共7页9．*已知214)(1limcosln10xxxxf，则30)(limxxfx2)2(ln。解:两侧取对数01()1()limln1ln1ln2lncos41ln[1(cos1)]41xxxfxfxxx，2ln4ln)(lim1cos14)(lim22100xxxfxxfxxx230)2(ln4ln2ln21)(limxxfx.10．*若322lim(1)01xxaxbxxx，则实数,ab为（Ｂ）.A.1,1abB.2,ab为任意实数C.2,2abD.a为任意实数，2b解32323222(221)lim(1)lim11xxxaxbxaxbxxxxxxxx22(2)2(1)lim01xaxxbxx分子的幂次要低于分母的幂次，所以2,ab可取任意实数。11．求下列函数的极限：（1）021sincoslimsin2xxxxx（2）21lim(sincos)xxxx解：（1）220021sincos1sincoslim2limsin2xxxxxxxxxx220sinsin2lim4xxxxx。（2）1021lim(sincos)lim(sin2cos)xtxtttxx第4页共7页00ln(sin2cos)sin2cos1limlim2tttttttteee12．*确定常数ba,的值，使函数0100)cos2()(222xxbxaxxxxfxx在),(上连续。解:当0x时,2)cos2()(22xxxxf是初等函数,故在)0,(上连续.)00(f22200lim()lim(2cos)xxxfxxx2220)cos2ln(limxxxxe2220ln[1(2cos1)]limxxxxe22202220sin2lim1cos2limxxxxxxxxeeeex)12(lim0.当0x时,)1(11)(lnbxxexxbxf也是初等函数,故在),0(上连续.(00)f001lim()limxxxbfxxln001lnlim(1)limlnxbxxxbebxx.要使)(xf在),(上连续,只需)(xf在0x处连续即可,即有)00(fbeafln)00(,即,eaebe时,)(xf在),(上连续.13．0x是函数12sin()||1xxfxxe的（Ｂ）.A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.振荡间断点第5页共7页10102sin (00)lim[]011,||12sin(00)lim[]211.||1xxxxxfxexfxe解14．*设函数11()e1xxfx，则（D）。(A)0,1xx都是()fx的第一类间断点；(B)0,1xx都是()fx的第二类间断点；(C)0x是()fx的第一类间断点,1x是()fx的第二类间断点；(D)0x是()fx的第二类间断点,1x是()fx的第一类间断点。15．求函数(2)(3)1(2)1()cos1xxxxfxxe的间断点，并判断其类型。解：其间断点为0,1,2,3xxxx。0lim()xfx和0lim()xfx都不存在且不为，0x是振荡间断点；1lim()1cos1xfx，1lim()cos1xfx，1x是跳跃间断点；22(1)lim()limcos21cos23xxxfxx，2x是可去间断点；3lim()xfx，3x是无穷间断点。证明题:16．*设010,1sin1nnxxx，1,2,n。证明数列nx收敛，并求limnnx。证明：101sin010xx，101x，。假设1nnxx和01nx，11sin1sin1nnnnxxxx则第6页共7页112=2sincos022nnnnxxxx，数列nx单调增；又101sin11nnxx，有上界。所以limnnx存在。设limnnxc，在11sin1nnxx两边取极限，令n，有1sin1cc，所以10c，即1c。17．设),2,1(6,1011nnxxx，试证数列nx极限存在，并求此极限。解:由1121166,10xxxx及设对正整数k有1kkxx，则有21166kkkkxxxx由归纳法得1nnxx（1n），即nx为单调递减数列。显然),2,1(,0nxn，即有下界，所以nnxlim存在。令：axnnlim，对nnxxx6,1011两边取极限，得aa6即062aa舍去）2(3aa，3limnnx.18．*设)(xf在[0,3]上连续,且)3()0(ff,证明至少存在一点]2,0[ξ,使)1()(ξfξf.，证明:令)1()()(xfxfxF,显然)(xF在]2,0[上连续.)2()1()0(FFF(0)(1)(1)(2)(2)(3)ffffff(0)(3)0ff若0)1(F,取1ξ,由)1()()(xfxfxF)1()(ξfξf;若0)1(F,由)2()1()0(FFF0,则)2(),1(),0(FFF必有两个值相互异号,第7页共7页于是,由零点存在定理知:至少存在一点]2,0[ξ,使0)1()()(ξfξfξF,即)1()(ξfξf.19．*证明：若()fx在[a,b]上连续，且()()1fafb，则存在[,]ab,使得1()2f。证明：（1）若1()()2fafb，则取a或b。（2）若()()fafb，则(),()fafb中有一个大于12，一个小于12。做辅助函数12Fxfx，由于()fx在[a,b]上连续，于是Fx在,ab上连续，且0FaFb，由零点定理知，存在,ab，使得0F，即1()2f。20．若()fx在[a,b]上连续，且对[,]xab，()0fx，则()fx在[a,b]上恒正或恒负。证明：用反证法，若存在12,,xxab，使得120fxfx，则由零点定理，在12,xx之间存在，使得0f，与题设矛盾。因此()fx在[a,b]上恒正或恒负。