2014-2015第一学期常微分方程试题

一．单项选择题（本题15分，每小题3分）1．微分方程245()1yxyx通解中含有任意常数的个数是（）．（A）1（B）2（C）3（D）42．微分方程tanyxyyxx是（）．（A）线性方程（B）可分离变量方程（C）恰当微分方程（D）齐次方程3．方程2ddyxy通过点(1,1)的解为xy21，其有定义的区间是（）．（A）(,2)（B）),2(（C）),(（D）(,2)(2,)4．设线性无关的函数123,,xxx都是二阶非齐次线性方程12()()()xatxatxft的解，12,CC是任意常数，则该方程的通解是（）．（A）11223CxCxx（B）1122123()CxCxCCx（C）1122123(1)CxCxCCx（D）1122123(1)CxCxCCx5．若()t是线性齐次微分方程组()xAtx的基解矩阵，C是nn可逆实矩阵，则下列也是基解矩阵的是（）．（A）C(t)（B）(t)C（C）C+(t)（D）C(t)二、填空题(本题15分，每小题3分)6．初值问题00d(,)d()yfxyxyxy的解所满足的积分方程是．7．与方程22++34txtxxtxe等价的一阶方程组是．8．方程2yxyy（）的奇解是．9．设0是n阶常系数线性方程()(1)1()()()0nnnxtaxtaxt的特征方程的四重特征根，则该方程相应于0的四个线性无关的解是.10．设()t是一阶线性齐次微分方程组()xAtx的解矩阵，则它是基解矩阵的充要条件是.三、计算题(本题50分，每小题10分)求下列方程或方程组的解：11．2()20xydyxydx12．2320(0)dyxxyyxdx13．23txxxe14．2222()01dxdxdtxdt15．112212d2dd43dxxxtxxxt且满足初始条件3(0)3x四、应用题(本题10分)16．求一曲线，使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两部分.五、证明题(本题10分，每小题5分)17．证明：二阶线性齐次微分方程12()()0xatxatx在区间I上的任意两个基本解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数.18．试证：如果)(t是一阶常系数线性微分方程组xAx满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt．试题答案一、单项选择题(本题15分，每小题3分)1.C2.D3.A4.D5.B二、填空题(本题15分，每小题3分)6.xxssysfyy0d))(,(0（或00(,)dxxyyfsys）7.122322312343txxxxxtxxtxe8.240xy9.000023,,,ttttetetete10.det()0t三、计算题(本题50分，每小题10分)11．解方程有积分因子21y，于是（3分）22210xxdydxdyyyy（5分）2ln0xdydy（8分）所以原方程的通解为2lnxyCy（C为任意常数，0y）（9分）0y也是方程的一个解．（10分）12.解方程变形为3221dyyydxxx(0x)它为3n时的伯努利方程令2zy，得242dzzdxxx（4分）通解为4422()dxdxxxzeedxCx（6分）4424212()5xdxCCxxxx（8分）所以原方程的通解为42125Cxyx（C为任意常数）（9分）显然0y也是方程的解．（10分）13．解特征方程2230解得123,1（3分）所以方程对应的齐次方程的通解为312ttxCeCe（5分）因1是齐次方程的特征根，故可设原方程的特解为txAte（7分）代入原方程化简得(14)0tAe可得14A（9分）所以原方程的通解为312ttxCeCe14tte（10分）14．解令dxydt，则22dxdydxdyydtdxdtdx（2分）原方程变为2201dyyydxx（3分）由0y，得1xC是原方程的解（5分）由201dyydxx，解得22(1)Cyx（8分）于是22(1)Cdxdtx，由此解得原方程的通解323(1)xCtC（10分）15．解特征方程为12||(5)(1)043AE特征根125,1（2分）15对应的特征向量为12（4分）21对应的特征向量为11（6分）原方程组的通解为511252ee2eettttxCCx（8分）代入初始条件3(0)3x，得122,1CC因此所求的解为51522e+e4eettttxx（10分）四、应用题(本题10分)16．解设(,)xy为所求曲线上任意一点，切线方程为XYyyx（）（2分）所求曲线与两坐标轴的交点分别为,yXxYyxyy（4分）由(,)xy为切线的中点有2,2XxYy于是有yxy和yxy（6分）即dyydxx（8分）解得lnlnlnyxC或xyC（C为任意常数）（10分）五、证明题(本题10分，每小题5分)17．证明设二阶线性齐次微分方程为12()()0xatxatx，在区间I的任意两个基本解组的朗斯基行列式分别为1()Wt，2()Wt，则由刘维尔公式可知01101()()exp(())ttWtWtasds，02201()()exp(())ttWtWtasds（2分）其中0tI，常数10()0Wt，20()0Wt，所以101220()()0()()WtWtWtWt（5分）18．证明因为Attexp)(是xAx的基解矩阵，)(t是其解，所以存在常向量C使得CAttexp)(，（2分）令0tt，则CAt0exp，所以10)(expAtC，（4分）故)(exp)exp(exp)(expexp)(0010ttAAtAtAtAtt（5分）