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题型突破（五）实际应用题题型解读实际应用型问题就是将实际应用题的变量关系用方程、不等式或函数关系表示出来,再利用其图象与性质得出数学结论,从而解决实际问题,体现了方程与函数的应用意识与转化的方法.|类型1|工程、行程问题例1[2018·襄阳]正在建设的“汉十高铁”竣工通车后,若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等,约为325千米,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍,则从襄阳到武汉乘坐高铁比乘坐动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.【分层分析】(1)设高铁速度为x千米/时,则动车速度为,高铁从襄阳至武汉运行时间为;动车从襄阳至武汉运行时间为.(2)根据“从襄阳到武汉乘坐高铁比乘坐动车所用时间少1.5小时”可列方程:.|类型1|工程、行程问题【方法点析】工程问题的基本关系是:工效(X)=工作量(𝐿)工作时间(𝑇).在X,L和T这三个量中,任意一个量都可以用其余两个量来表示,表示出相关的量,再列方程也就容易了.这个关系类似于行程问题中的速度(v)=路程(𝑠)时间(𝑡),因此行程问题有时也可以类比工程问题求解.如果是分式方程必须“双检验”,即:一是检验是否符合题意,二是检验是否是增根,如果是增根,必须舍去.|类型1|工程、行程问题例1[2018·襄阳]正在建设的“汉十高铁”竣工通车后,若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等,约为325千米,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍,则从襄阳到武汉乘坐高铁比乘坐动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.解:设高铁的速度为x千米/时,则动车的速度为𝑥2.5=0.4x(千米/时).依题意得3250.4𝑥-325𝑥=1.5,解得x=325,经检验x=325是原方程的根.答:高铁的速度为325千米/时.|类型1|工程、行程问题针对训练1.[2018·东营]小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出,他们的家分别距离剧院1200m和2000m,两人分别从各自家中同时出发,已知小明和小刚的速度比是3∶4,结果小明比小刚提前4min到达剧院.求两人的速度.解:设小明和小刚的速度分别为3xm/min,4xm/min,由题意,得12003𝑥=20004𝑥-4,解这个方程,得x=25,经检验x=25是所列方程的解,且符合题意.所以小明的速度为3x=3×25=75(m/min),小刚的速度为4x=4×25=100(m/min).答:小明的速度为75m/min,小刚的速度为100m/min.|类型1|工程、行程问题2.[2018·聊城]建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共同施工了110天,这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方.(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方?(2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务?解:(1)设甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为x万立方、y万立方,由题意得150𝑥+150𝑦=120,110𝑥+150𝑦=103.2,解得𝑥=0.42,𝑦=0.38.答:甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方,0.38万立方.|类型1|工程、行程问题2.[2018·聊城]建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共同施工了110天,这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方.(2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务?(2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高m万立方才能保证按时完成任务,由题意得150m≥120-103.2,解得m≥0.112.答:乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.|类型1|工程、行程问题3.[2018·山西]2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45(两列车中途停留时间均除外),经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.解:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时.由题意,得500𝑥=50054𝑥+40,解得x=52,经检验,x=52是原方程的根.52+16=83(小时).答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要83小时.|类型2|增长率问题例2[2017·南宁]为响应国家全民阅读的号召,某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书,并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位:本),该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本,2016年图书借阅总量是10800本.(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率;(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数为1350人,预计2017年达到1440人,如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率,那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%,求a的值至少是多少?|类型2|增长率问题【分层分析】(1)2014年图书借阅总量是,2016年图书借阅总量是,设从2014年至2016年的年平均增长率为x,依题意可得;(2)2017年的图书借阅总量是,2016年的人均借阅量为,2017年的人均借阅量为.|类型2|增长率问题【方法点析】增长(降低)率问题是列方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键,常见的词语有:“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等.弄清基数、增长(减少)后的量及增长(减少)次数.增长率问题,一般假设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n(一般情况下为2),增长后的量为b,则有表达式a(1+x)n=b,类似的还有平均降低率问题,则有表达式a(1-x)n=b,注意区分“增”与“减”.|类型2|增长率问题例2[2017·南宁]为响应国家全民阅读的号召,某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书,并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位:本),该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本,2016年图书借阅总量是10800本.(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率;解:(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x,根据题意得7500(1+x)2=10800,即(1+x)2=1.44,解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去).答:该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%.|类型2|增长率问题例2[2017·南宁]为响应国家全民阅读的号召,某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书,并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位:本),该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本,2016年图书借阅总量是10800本.(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数为1350人,预计2017年达到1440人,如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率,那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%,求a的值至少是多少?(2)10800(1+0.2)=12960(本),10800÷1350=8(本),12960÷1440=9(本),(9-8)÷8×100%=12.5%.故a的值至少是12.5.|类型2|增长率问题针对训练1.[2018·沈阳]某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.解:(1)设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率为x,根据题意,得400(1-x)2=361,解得x1=0.05,x2=1.95.∵1.951,∴x2=1.95不符合题意,舍去.答:每个月生产成本的下降率为5%.|类型2|增长率问题1.[2018·沈阳]某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同.(2)请你预测4月份该公司的生产成本.(2)361×(1-5%)=342.95(万元).答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.|类型2|增长率问题2.[2017·烟台]今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:试问去哪个商场购买足球更优惠?图Z5-1解:(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.根据题意,得200(1-x)2=162,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.|类型2|增长率问题2.[2017·烟台]今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:试问去哪个商场购买足球更优惠?图Z5-1(2)到A商场购买91个足球,赠送9个足球,共100个足球,总价为91×162=14742(元).到B商场购买,总价为100×162×0.9=14580(元).∵1458014742,∴去B商场购买合算.|类型2|增长率问题3.[2017·重庆A卷]某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农今年收获樱桃至少多少千克.(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售.该果农去年樱桃的市场销售量为100千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%,销售均价与去年相同;该果农去年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年运往市场销售的樱桃和枇杷的销售总金额相同,求m的值.|类型2|增长率问题解:(1)设该果农今年收获樱桃x千克,根据题意得400-x≤7x,解得x≥50.答:该果农今年收获樱桃至少50千克.|类型2|增长率问题3.[2017·重庆A卷]某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售.该果农去年樱桃的市场销售量为100千克,销售均价为30元/