2013――2017全国1卷分类汇编――函数与导数

13近几年全国卷分类汇编——函数与导数一.选择题，填空题1.【2013课标全国Ⅰ，理11】已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．（－2,1]D．（－2,0]2.【2013课标全国Ⅰ，理16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．3.【2014课标Ⅰ，理3】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）.A．是偶函数B．是奇函数C.．是奇函数D．是奇函数4.【2014课标Ⅰ，理11】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是().A．B．C．D．5.【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则a的取值范围是（）.A.[-，1）B.[-，）C.[，）D.[，1）6.【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a=.7.【2016高考新课标理数1】函数y=2x2–e|x|在–2,2]的图像大致为（）.A.B.2C.D.8.【2016高考新课标理数1】若，则（）.A.B.C.D.9.【2017新课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是（）.A．B．C．D．10.【2017新课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则（）.A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z二.解答题1.【2013课标全国Ⅰ，理21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．32.【2014课标Ⅰ，理21】设函数，曲线在点处的切线方程为（I）求（II）证明：3.【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数.44.【2016高考新课标理数1】已知函数有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是的两个零点，证明：.5.【2017新课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.53近几年全国卷分类汇编——函数与导数参考答案一.选择题，填空题1.【答案】D【解析】由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈－2,0]．2.【答案】16易知，f(x)在(－∞，－2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋∞)上为减函数．6∴f(－2－)＝1－(－2－)2](－2－)2＋8(－2－)＋15]＝(－8－)(8－)＝80－64＝16.f(－2)＝1－(－2)2](－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋)＝1－(－2＋)2](－2＋)2＋8(－2＋)＋15]＝(－8＋)(8＋)＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤a＜1，故选D.76.【答案】17.【答案】D【解析】试题分析：函数f(x)=2x2–e|x|在–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D.8.【答案】C【解析】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．9.【答案】Dyx810.【答案】D【解析】试题分析：令，则，，∴，则，，则，故选D.二.解答题1.【解析】：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．9而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是1，e2]．2.【答案】（I）；（II）详见解析.3.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.（Ⅱ）当时，，从而，∴在（1，+∞）无零点.当=1时，若，则，,故=1是10的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.114.【答案】(I)；（II）见解析【解析】（iii）设，由得或．若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以12．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．5.【解析】：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.