15-3收敛定理的证明

返回后页前页[π,π],xf光滑,则在每一点的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即01(0)(0)(cossin),22nnnafxfxanxbnx,nnabf其中为的傅里叶系数.f[π,π]定理15.3若以为周期的函数在上按段2π§3收敛定理的证明本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明返回后页前页证明思路:设～对每个,我们要证明..即证明.方法是把该极限表达式化为积分,利用黎曼-勒贝格定理证明相应积分的极限为零.返回后页前页为此先证明两个预备定理.预备定理1(贝塞尔(Bessel)不等式)若函数f在[π,π]上可积,则2π222π101()()d.(1)π2nnnabfxxa为,nnabf其中的傅里叶系数.(1)式称为贝塞尔不等式.返回返回后页前页证令01()(cossin)2mmnnnaSxanxbnx考察积分π2π[()()]dmfxSxxπππ22πππ()d2()()d()d.(2)mmfxxfxSxxSxxππ0ππ()()d()d2mafxSxxfxx由于返回后页前页ππππ1(()cosd()sind),mnnnafxnxxbfxnxx根据傅里叶系数公式(§1(10))可得π2220π1π()()dπ().(3)2mmnnnfxSxxaab对于2()mSx的积分.应用三角函数的正交性,有π2π()dmSxx2π0π1(cossin)d2mnnnaanxbnxx返回后页前页22πππ22220πππ1dcosdsind2mnnnaxanxxbnxx22201ππ().(4)2mnnnaab将(3),(4)代入(2)，可得π2π0[()()]dmfxSxx2π2220π1π()dπ().2mnnnafxxab因而返回后页前页2π2220π11()[()]d,2πmnnnaabfxx它对任何正整数m成立.而π2π1[()]dπfxx为有限值,所以正项级数22201()2nnnaab的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立.返回后页前页推论1若f为可积函数,则πππ-πlim()cosd0,(5)lim()sind0,nnfxnxxfxnxx因为(1)的左边级数收敛,所以当n时,通项220nnab0na0nb,亦即有与,这就是(5)式,这个推论称为黎曼－勒贝格定理.返回后页前页π0ππ1lim()sind0,2(6)1lim()sind0,2nnfxnxxfxnxx1sincossinsincos,222xxnxnxnx证由于所以推论2若f为可积函数,则返回后页前页ππ00()cossind()sincosd22xxfxnxxfxnxxππ12ππ()sind()cosd,(7)FxnxxFxnxx1()cos,0π,()20,π0,xfxxFxx2()sin,0π,()20,π0.xfxxFxx其中π01()sind2fxnxx返回后页前页式右端两项积分的极限在n时都等于零.所以左边的极限为零.同样可以证明0π1lim()sind0.2nfxnxx显见与和f一样在上可积.由推论1,(7)1F2F[π,π]返回后页前页ππ1sin12()=()d,(8)π2sin2nntSxfxttt当t=0时,被积函数中的不定式由极限01sin12lim22sin2tntnt来确定.上可积,则它的傅里叶级数的部分和()nSx可写成f[π,π]预备定理2若是以2为周期的函数,且在π返回后页前页01()(cossin)2nnkkkaSxakxbkxππππ1ππ11()()d()cosdcos2ππ()sindsinnnkSxfuufukuukxfukuukxππ111()coscossinsindπ2nkfukukxkukxu证在傅里叶级数部分和中,用傅里叶系数公式代入,可得返回后页前页ππ111()cos()d.π2nkfukuxu令uxt,得ππ111()()cosd.π2nxnxksxfxtktt[,]xx[,]因此在上的积分等于上的积分,再由第十二章§3的(21)式,即由上面这个积分看到,被积函数是周期为的函数,2返回后页前页11sin12cos,(9)22sin2nkntkttππ1sin12()=()d.π2sin2nntSxfxttt这就得到(8)式也称为f的傅里叶级数部分和的积分表达式.返回后页前页现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:[π,π],xf光滑,则在每一点的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即01(0)(0)(cossin),22nnnafxfxanxbnx,nnabf其中为的傅里叶系数.f[π,π]定理15.3若以为周期的函数在上按段2π返回后页前页证只要证明在每一点x处下述极限成立:(0)(0)lim()0,2nnfxfxSxππ1sin(0)(0)12lim()d0.2π2sin2nntfxfxfxttt即或证明同时有返回后页前页π01sin(0)12lim()d0,(10)2π2sin2nntfxfxttt0π1sin(0)12lim()d0.(11)2π2sin2nntfxfxttt与先证明(10)式.对(9)式积分后得到返回后页前页ππππ11sin1112dcosd1,ππ22sin2nknxxkxxx由于上式左边为偶函数,因此两边乘以(0)fx后又得到π01sin(0)12(0)d.2π2sin2ntfxfxtt返回后页前页π01sin12lim[(0)()]d0.(12)π2sin2nntfxfxttt()(0)()2sin2fxtfxtt从而(10)式可改写为令返回后页前页()(0)2,(0,π].sin2tfxtfxttt0lim()(0)1(0).ttfxfx由§1,(13)式得到则函数在点(0)(0),fx0t再令右连续.因为在上至多只有有限个第一类间断点,[0,π]所以在上可积.根据预备定理1和推论2,[0,π]返回后页前页π01sin12lim[(0)(0)]dπ2sin2nntfxfxttπ011lim()sind0.π2ntntt这就证得(12)式成立,从而(10)式成立.用同样方法可证(11)也成立.