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对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。二、有限制条件的排列问题2.一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？巩固训练1、在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4x100接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？3、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置：35A有种排法第二步排其余的位置：44A有种排法3454AA共有种不同的排法解二：第一步由两种葵花去占位：24A有种排法第二步由其余元素占位：55A有种排法2545AA共有种不同的排法三、相邻问题——捆绑法（先捆后松）对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。例1.7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列。55A由分步计数原理可得：种不同排法。5353AA例2、七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。35A44A14403544AA四、不相邻问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？插空法小结：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。变式、七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？（若变为四个女孩其余条件不变呢？）不同的排法共有：1443344AA（种）相间问题1.四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，各有多少不同的排法①七个人排一列，三个女生任何两个都不能相邻排在一起②七个人排一列，四个男生必须连排在一起③男女生相间排列巩固练习④七个人排一列甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？③男女男女男女男共有A44A33=144①插空法：先排四个男生共有A44种排法_X_X_X_X_在五个空挡中选出三个空档插进去三个女生有A35种排法由乘法原理解共有A44A35=1440②捆绑法：四个男生看作一个元素和三个女生共四个元素有A44种排法,四个男生全排列有A44种排法由乘法原理共有A44A44=576④、将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A52A44A22＝960种方法．2、6人排成一排.⑴甲、乙两人必须相邻,有多少种不同的排法?⑵甲、乙两人相邻，另外4人也相邻，有多少种不同的排法？⑶甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？⑷甲、乙、丙三人两两不相邻，有多少种不同的排法？♀♀♀♀♀♀解：（1）分两步进行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：55A有种排法第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：22A有种排法2525AA共有种排法♀♀【图示】几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.2、6人排成一排.⑴甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?⑵甲、乙两人相邻，另外4人也相邻，有多少种不同的排法？⑶甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？⑷甲、乙、丙三人两两不相邻，有多少种不同的排法？♀♀♀♀解：（2）分三步进行：第1步，把甲乙排列(捆绑)：第3步，把两个梱看作2个元素排队：22A有种排法242242AAA共有种排法♀♀【图示】必须相邻元素,先分别捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.第2步，把另外4人也排列(捆绑)：44A有种排法22A有种排法2、6人排成一排.⑴甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?⑵甲、乙两人相邻，另外4人也相邻，有多少种不同的排法？⑶甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？⑷甲、乙、丙三人两两不相邻，有多少种不同的排法？♀♀♀♀解：（3）分两步进行：♀♀【图示】几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插空.第1步，把除甲乙外的一般人排列：44A有种排法第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：25A有种插入法4245AA共有种排法↑↑↑↑↑♀♀♀2、6人排成一排.⑴甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?⑵甲、乙两人相邻，另外4人也相邻，有多少种不同的排法？⑶甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？⑷甲、乙、丙三人两两不相邻，有多少种不同的排法？♀♀♀解：（4）分两步进行：【图示】几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插空.第1步，把除甲乙丙外的一般人排列：33A有种排法第2步，将甲乙丙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：34A有种插入法3334AA共有种排法↑↑↑↑3．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（）A．47AB．37AC．55AD．5353AA4．五种不同商品在货架上排成一排，其中,AB两种必须连排，而,CD两种不能连排，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种CC空空空车车车车AB另DC22222324AAA例3：有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？五、顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有种。473377AAA分析：先在7个位置上作全排列，有种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故只对应一种排法，33A77A本题也可以这样考虑：对应于先将没有限制条件的其他元素进行排列，有种方法；47A再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排列，只有一种方法；故，总的排列方法数为：)(84047种A（1）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？练习2〈2〉三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？473377AAA分析：若不考虑限制条件，则有种排法，而甲，乙之间排法有种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有种.55A22A5522AA35A即六、分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例4、七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有种.77A（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以两排可看作一排来处理不同的坐法有种77A774437AAA（2）八个人排成两排，有几种不同排法？88A练习3七、实验法题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。例5、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6B.9C.11D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。八、住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是呢？57例6、七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.B.CD.577557A57C75用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。九、对应法例7、在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。十、特征分析研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。例8、由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。把6分成4组，（3），（6），（1，5），（2，4），每组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有，然后其余四个数在其他数位上全排列有，所以第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有13A44A14341NAA14242NAA12=+=120()NN故个N解排列问题的常用方法：相邻元素捆绑法；相离问题插空法；顺序固定问题用“除法”；定位问题优限法(特殊位置法、特殊元素法)；复杂问题“排除法”(间接法)相邻问题，捆绑处理；不全相邻，排除处理；全不相邻，插空处理；相间排列，定位处理.三、课堂小结：变式1、八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？2.某班8运动员在运动会后排成一排照像留念，若甲乙两人之间必须间隔一人，有多少种不同排法？解：连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开，如图表示没有命中，_____命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A25=5·4=20种排法3.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好3枪连在一起的不同种数有多少？4.一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？5、一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为。（用数字作答）4806.有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾？（4）若甲、乙两名女生相邻，且不与第三名女生相邻？（1）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端？（2）7位同学站成一排，甲、乙不能站在两端？（5）甲、乙、丙3名同学必须相邻，而且要求乙、丙分别站在甲的两边？解法二：可以画一个树状图，知满足要求的拿法有9种（四)其他问题同室4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？解法一：第一步第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有3种，第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有3·3·1·1=9⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求