对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

1对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是：设0ba，则2112lnlnabbabababaab+--+，其中lnlnabab被称为“对数平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.1对数平均数不等式链的几何证明如图，先画反比例函数10fxxx的图象，再画其他的辅助线，其中APBCTUKV，MNCDx轴，,0,Aa1,,Paa1,0,,BbQbb,1,Tabab.设函数fx在点2,2abKab处的切线分别与直线,APBQ交于点,EF，则根据左图可知：因为ABNMABQPABFESSS=矩形曲边梯形梯形，所以()12lnlnbadxbabaxab=--+ò.①因为1lnlnabAUTPaSdxabax==-ò曲边梯形()11lnln22ABQPbaS=-=曲边梯形，()11111222AUTPABCDbaSabaSaabab骣-÷ç=+-=?÷ç÷÷ç桫梯形梯形，2而根据右图可知：AUTPAUTPSS曲边梯形梯形，所以lnlnbabaab--.②另外，根据ABQXABYPABQPABQPSSSS矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111lnln2babababababa骣÷ç--+--÷ç÷ç桫.③综上，结合重要不等式可知：()()()()211111lnln2bababababababababaab骣--÷ç--+--÷ç÷ç桫+，即()20112lnlnabbababababaab+--+.④2对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式2lnlnabbaba+--，记为①式；将lnlnbaabba--，记为②式；将211lnlnbabbaab--+，记为③式.变式探究1：取12,axbx，则由①知：1221212lnlnxxxxxx.于是，可编制如下试题：已知210xx，求证：2121122()lnlnxxxxxx.变式探究2：取12,axbx，则由②知：211221lnlnxxxxxx.于是，可编制如下试题：已知210xx，求证：212112lnlnxxxxxx.变式探究3：取12,axbx，则由③知：2122112211lnlnxxxxxxx.于是，可编制如下试题：已知210xx，求证：22121212121lnln2xxxxxxxx.3变式探究4：取121,1axbx，则由①知：122121(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：2112211ln(1)ln(1)2xxxxxx.变式探究5：取121,1axbx，则由②知：211221(1)(1)(1)(1)ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：211212211ln(1)ln(1)xxxxxxxx.变式探究6：取121,1axbx，则由③知：2122112(1)(1)2111ln(1)ln(1)11xxxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：2112221122(1)(1)1ln(1)ln(1)2xxxxxxxxx.变式探究7：取121,1axbx，则由①知：122121(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：2112211ln(1)ln(1)2xxxxxx.变式探究8：取121,1axbx，则由②知：211221(1)(1)(1)(1)ln(1)ln(1)xxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：211212211ln(1)ln(1)xxxxxxxx.变式探究9：取121,1axbx，则由③知：2122112(1)(1)2111ln(1)ln(1)11xxxxxxx.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)xx，且12xx，求证：211222112(1)(1)2(1)(1)1ln(1)ln(1)2xxxxxxxxx.变式探究10：取12,xxaebe，则由①知：1221212xxxxeeeexx.于是，可编制如下试题：对任意412,xxR，且21xx，求证：2112212xxxxxxeeee.变式探究11：取12,xxaebe，则由②知：211221xxxxeeeexx.于是，可编制如下试题：对任意12,xxR，且21xx，求证：12212221xxxxxxeee.变式探究12：取12,xxaebe，则由③知：2121221211xxxxxeeexxee.于是，可编制如下试题：对任意12,xxR，且21xx，求证：21121122121221212211xxxxxxxxxxxxeeeeeexxeeeexx.…………总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.