高数课件6.1多元函数的基本概念

一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结第一节多元函数的基本概念设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx一、多元函数的概念),(00PU||00PPP.)()(0|),(2020yyxxyxδPP00在平面上,),(),(0yxδPU(圆邻域)在空间中,),,(),(0zyxPU(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点P0的去心邻域记为设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.（2）区域聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个去心邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.1.内点是聚点；说明：2.边界点是聚点；}10|),{(22yxyx例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx例如,(0,0)是聚点但不属于集合．}1|),{(22yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．EP.为开集则称的点都是内点，如果点集EE}41),{(221yxyxE例如，即为开集．是连通的．开集，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设DDDD点集1),(xyx是开集，但非区域.11xyO连通的开集称为区域或开区域．}.41|),{(22yxyx例如，xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如，xyo整个平面是最大的开域,也是最大的闭域;则称为无界点集．为有界点集，否成立，则称对一切即，不超过间的距离与原点，使一切点如果存在正数对于点集EEPKOPKOPOEPKE}0|),{(yxyx有界闭区域；无界开区域．xyo例如，}41|),{(22yxyx（3）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.1.n维空间的记号为说明：;nR2.n维空间中两点间距离公式),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQ3.n维空间中邻域、区域等概念nRPPPPPU,||),(00特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.（4）二元函数的定义当2n时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数．例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD多元函数也有单值性与多值性的概念.}),({),(222RyxyxDyxP当222yxRz222yxRz2222Rzyx例如：单值分支一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍适用：设有n元函数y=f(x)，其定义域为DRn，集合XD.若存在正数M，使对xX，有|f(x)|M，则称f(x)在X上有界，M称为f(x)在X上的一个界.（5）二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,左图球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:例2设求解000),(222222yxyxyxxyyxf)1,1(yxf)1,1(yxf22)1()1(11yxyx22yxxy二元函数也有复合函数例3、已知求.,),(22yxyxxyf),(yxf例4、已知求.),(yxf22(,),yfxyxyx二元函数也有复合函数xx0时f(x)的极限定义设f(x)在点x0的某去心邻域有定义,若有常数A,对0,0,当0|xx0|时,恒有|f(x)A|,则称常数A是函数f(x)当xx0时的极限,简称A是f(x)在x0处的极限..)()(,)(lim00xxAxfAxfxx或者记为定义Axfxx)(lim0.|)(|,||0,0,00Axfxx恒有时当回顾定义1设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当),(),(000yxpyxp趋于时的极限，记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.二、多元函数的极限二、多元函数的极限定义0000(,)(,)lim(,)xxyyxyfxyfxyA是的定义域的聚点，则22000,0,0()(),|(,)|.xxyyfxyA当时恒有说明：（1）定义中的方式、方向、路径是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．回顾：01limsin0.xxx证明例1求证证01sin)(lim2222)0,0(),(yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．)()()(xhxfxgAxhAxgxx)(lim,)(lim)2(.)(lim,)(limAxfxfxx且存在则有时或当。,)||(),()1(0MxrxUx关于函数收敛的夹逼准则：(),(),()fxgxhx设函数满足如下条件：求极限方法回顾：重要极限1sinlim0xxxexxx)11(lim例3求极限(,)(0,2)sin()lim.xyxyx例2求证22(,)(0,0)lim0xyxyxy例4求极限.)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx解222)0,0(),()sin(limyxyxyx,)sin(lim22222)0,0(),(yxyxyxyxyx其中yxyxyx22)0,0(),()sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim222)0,0(),(yxyxyxyxu2例5设),(lim)0,0(),(yxfyx,00,0),(222222yxyxyxxyyxf证明不存在．解取kxy22)0,0(),(limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．例6证明不存在．证263)0,0(),(limyxyxyx取,3kxy263)0,0(),(limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法:找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两者不相等;令p(x,y)沿某一定曲线趋向于时,极限不存在.),(000yxp例7证明不存在．1(,)(0,0)lim(1)xyxyxy定义2设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式||00PP的一切点DP，都有|)(|APf成立，则称A为n元函数)(Pf当0PP时的极限，记为APfPP)(lim0.n元函数的极限利用点函数的形式有设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点且DP0，如果)()(lim00PfPfPP则称n元函数)(Pf在点0P处连续.设0P是函数)(Pf的定义域的聚点，如果)(Pf在点0P处不连续，则称0P是函数)(Pf的间断点.三、多元函数的连续性定义3例8讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理（3）有界定理在有界闭区域D上的多元连续函数必定有界．多元初等函数：由常量及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例9.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx原式111lim00xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00yx时，函数),(yxf都趋向于A，能否断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题解答不能.例,)(),(24223yxyxyxf)0,0(),(yx取,kxy2442223)(),(xkxxkxkxxf00x但是不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取,2yx244262)(),(yyyyyyf.41