第2章自动控制原理课件胡寿松

第2章第1页EXIT2020年4月11日第2章自动控制系统的数学模型第2章第2页EXIT2020年4月11日2.1控制系统微分方程的建立2.2非线性系统微分方程的线性化2.3传递函数2.4控制系统的结构图及其等效变换2.5自动控制系统的传递函数2.6信号流图2.7脉冲响应函数第2章第3页EXIT2020年4月11日2.1控制系统微分方程的建立第2章第4页EXIT2020年4月11日数学模型1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。第2章第5页EXIT2020年4月11日另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进行仿真研究）。第2章第6页EXIT2020年4月11日3.表示形式（经典控制理论中最常用的）a.微分方程；b.传递函数；c.频率特性三种数学模型之间的关系线性系统微分方程传递函数频率特性拉氏变换傅氏变换同一个系统，可以选用不同的数学模型，如研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。第2章第7页EXIT2020年4月11日4.建立方法a.分析计算法分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。b.工程实验法工程实验法是利用系统的输入--输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。黑盒输入输出第2章第8页EXIT2020年4月11日但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论解析法建立系统的数学模型第2章第9页EXIT2020年4月11日2.1控制系统微分方程的建立一般步骤（1）分析元件的工作原理及其在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。第2章第10页EXIT2020年4月11日•机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。例一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为弹簧系数，f为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方程。xmFk2.1.1机械系统第2章第11页EXIT2020年4月11日解：在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2。设外作用力F为输入量，位移x为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdmkxdtdxfFdtxdm22xmFkk和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。第2章第12页EXIT2020年4月11日2.1.2电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。例由电阻R、电感L和电容C组成无源网络。ui输入，uo输出，求微分方程。－LCui(t)uo(t)i(t)+－+R第2章第13页EXIT2020年4月11日()()()()oiditLRitututdt()()odutitCdt)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo解设回路电流为i(t)如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到式中i(t)是中间变量。i(t)和uo(t)的关系为消去中间变量i(t)，可得－LCui(t)uo(t)i(t)+－+R第2章第14页EXIT2020年4月11日比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如上述RLC串联网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm第2章第15页EXIT2020年4月11日图示为一他激直流电动机。图中，ω为电动机角速度（rad/s），Mc为折算到电动机轴上的总负载力矩（N·m），ua为电枢电压（V）。设激磁电流恒定，并忽略电枢反应。iauaLaRaeaMc负载+_+_cmaumMKuKdtdT取ua为给定输入量，ω为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感，得（参看教材p.22）:2.1.3机电系统第2章第16页EXIT2020年4月11日如果取电动机的转角θ（rad）作为输出，电枢电压ua（V）仍为输入，考虑到:dtdcmaumMKuKdtddtdT22cmaumMKuKdtdT可将上式改写成可知：对于同一个系统，若从不同的角度研究问题，则所得出的数学模型式不一样的。第2章第17页EXIT2020年4月11日2.2非线性系统微分方程的线性化第2章第18页EXIT2020年4月11日非线性微分方程的求解很困难。忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。第2章第19页EXIT2020年4月11日2.2.1小偏差线性化的概念（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。第2章第20页EXIT2020年4月11日2.2.2举例①一个自变量y=f(r)r—元件的输入信号，y—元件的输出信号0r0r0+△ry0y0+△yyAB略去高次项，00220002()1()()()()2!rrrrdfrdfryfrrrrrdrdr000()()rrdfryyrrdr设原运行于某平衡点（静态工作点）A点：r=r0,y=y0,且y0=f(r0)B点：当r变化△r，y=y0+△y函数在（r0,y0）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即0(),rrdfrKdryKr第2章第21页EXIT2020年4月11日②两个自变量y=f(r1，r2)静态工作点：y0=f(r10，r20)在y0=f(r10，r20)附近展开成泰勒级数，即10201102201222221102202212(,)()()1()()2!ffyfrrrrrrrrffrrrrrr1122yKrKr函数变化与自变量变化成线性比例关系。第2章第22页EXIT2020年4月11日2.2.3系统线性化的条件及步骤1.条件①系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作点;②在运行过程中偏离且满足小偏差条件;③在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。第2章第23页EXIT2020年4月11日2.建立步骤①按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分方程。②确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作状态。③对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若符合就进行线性化处理。④将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。⑤联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系统总输入和总输出增量的线性化方程。第2章第24页EXIT2020年4月11日2.2.4关于线性化的几点说明①线性化方程中的参数与选择的工作点有关，因此，在进行线性化时，应首先确定系统的静态工作点。②实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化。③若非线性特性是不连续的不能采用上述方法。④线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。第2章第25页EXIT2020年4月11日2.3传递函数第2章第26页EXIT2020年4月11日2.3.1传递函数的定义和性质•一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。•传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。第2章第27页EXIT2020年4月11日1.定义零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：[()]()()[()]()LytYsGsLrtRs意义：()()()YsRGss()Ys)(sG()Rs第2章第28页EXIT2020年4月11日传递函数的求法线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件）1110111101()()()...()()()()...()nnnnnnmmmmmmdytdytdytaaaaytdtdtdtdrtdrtdrtbbbbrtdtdtdt11101110[...]()[...]()nnnnmmmmasasasaYsbsbsbsbRs11101110...()()()...mmmmnnnnbsbsbsbYsGsRsasasasa第2章第29页EXIT2020年4月11日当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为()1()()1oiUsGsUsRCs例2.3求图示RC电路的传递函数，其中ui(t)是输入电压，uo(t)是输出电压()()()ooidutRCututdt(1)()()oiRCs