初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第5讲-一元二次方程的整数整数解

1第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x的方程054)15117()9)(6(2xkxkk的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a、b为质数且是方程0132cxx的根，那么baab的值是()A．22127B．22125C．22123D．22121思路点拨由韦达定理a、b的关系式，结合整数性质求出a、b、c的值．【例3】试确定一切有理数r，使得关于x的方程01)2(2rxrrx有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0r时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m为整数时，关于x的方程01)12()12(2xmxm是否有有理根?如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(nmmmmm(n为整数)解不定方程，讨论m的2存在性．注：一元二次方程02cbxax(a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=acb42为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x的方程0)13()3(22axaax至少有一个整数根，求非负整数a的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程．学历训练1．已知关于x的方程012)1(2axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a有．2．已知方程019992mxx有两个质数解，则m＝．3．给出四个命题：①整系数方程02cbxax(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02cbxax(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02cbxax(a≠0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程02cbxax没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x的一元二次方程0)12(22axax(a为整数)的两个实数根是1x、2x，则21xx=．5．设rn为整数，且4m40，方程08144)32(222mmxmx有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222aaxaaax(a≠0)至少有一个整数根，求a的值．7．求使关于x的方程01)1(2kxkkx的根都是整数的k值．8．当n为正整数时，关于x的方程07635108222nnxnxx的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x的二次方程4)462()86(2222kxkkxkk的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值．310．试求所有这样的正整数a，使得方程0)3(4)12(22axaax至少有一个整数解．11．已知p为质数，使二次方程015222pppxx的两根都是整数，求出p的所有可能值．12．已知方程02cbxx及02bcxx分别各有两个整数根1x、2x及1x、2x，且1x2x0，1x2x0．(1)求证：1x0,2x0，1x0,2x0；(2)求证：11bcb；(3)求b、c所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122mxmx的根(m为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案4