拱桥(4)

重庆交通学院桥梁系孙淑红第八章拱桥的计算拱桥的计算拱轴线的选择与确定成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算施工阶段的内力分析和稳定验算恒载内力温度、收缩徐变拱脚变位活载内力内力调整拱上建筑的计算重庆交通学院桥梁系孙淑红桥梁与道路结构一、拱轴线的选择与确定拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料的抗压性能。实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压力线作为设计拱轴线。重庆交通学院桥梁系孙淑红（一）圆弧线线形最简单，施工最方便。但圆弧拱轴线一般与恒载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于15~20m以下的小跨径拱桥。园弧线的拱轴方程为：)//41(21)cos1(sin0211212lflfRRyRxRyyx重庆交通学院桥梁系孙淑红重庆交通学院桥梁系孙淑红（二）抛物线拱在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：2214xlfy重庆交通学院桥梁系孙淑红空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、跨径的四分之一点和拱脚初与压力线重合。（三）悬链线桥实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线重庆交通学院桥梁系孙淑红1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线）如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为：弯矩Md=0剪力Qd=0恒载推力为Hg重庆交通学院桥梁系孙淑红对拱脚截面取矩，有:fMHgM（1－2－12）半拱恒载对拱脚的弯矩。对任意截面取矩，有：gxHMy1(1－2－13）y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标；M任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。对式（1－2－13）两边对x取两次导数，可得：gxgHgdxMdHdxyd222121（1－1－14）重庆交通学院桥梁系孙淑红由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：1yggdx（1－2－15）dg拱顶处恒载强度；拱上材料的容重。由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度gj为：ddjmgfgg（1－2－16）其中：djggm称为拱轴系数。这样gx可变换为：fgmd/)1(ddjmgfggfymgyggddx11)1(1（1－2－19）重庆交通学院桥梁系孙淑红将上式代入式（1－2－14），并引参数:1lx则：dldx1可得：fymgHldyddg121212)1(1（1－2－20）令)1(212mfHglkgd则1221212ykHgldydgd（1－2－21）上式为二阶非齐次微分方程。解方程，得到拱轴线（压力线）方程为：)1(11chkmfy（1－2－22）悬链线方程重庆交通学院桥梁系孙淑红其中chk为双曲余弦函数：2kkeechk对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（1－2－22）可得：mchk通常m为已知，则可以用下式计算k值：)1ln(21mmmchk（1－2－23）反双曲余弦函数对数表示当m=1时gx=gj，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次抛物线，其方程变为：21fy重庆交通学院桥梁系孙淑红由悬链线方程可以看出，当拱的跨度和失高确定后，拱轴线各点的坐标取确于拱轴系数m。其线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：21当时，4/11yy；代21到悬链线方程（1－2－22）有：2)1(21112121212)12(114/14/1mmmfymchkkchkchmfy半元公式mchk4/1y随m的增大而减小（拱轴线抬高，随m减小而增大（拱轴线降低）。重庆交通学院桥梁系孙淑红2、拱轴系数m值的确定（1）实腹式拱m值的确定djggm拱顶恒载分布集度gddhgdd21拱脚恒载分布集度gjhdhgjdj321cos其中321,,拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重dh拱顶填料厚度dj拱圈厚度拱脚处拱轴线的水平倾角jddfhcos22重庆交通学院桥梁系孙淑红由上计算m值的公式可以看出，除j为未知数外，其余均为已知；在具体计算m值时可采用试算法，具体做法如下：a)先假设mib)根据悬链线方程（1－2－22）求；j将式（1－2－22）两边取导数，有:shkmfkddy11shkmlfkshklddydldydxdytg)1(221111)1(2mlkf其中k可由式（1－2－23）计算代=1，如上式，即可求得：shktgjc)根据计算出的计算出gj后，即可求得mi+1d)比较mi和mi+1，如两者相符，即假定的mi为真实值；如两者相差较大，则以计算出的mi+1作为假设值，重新计算，直到两者相等j重庆交通学院桥梁系孙淑红（2）空腹式拱拱轴系数的确定空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载由两部分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的分布力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力（如左图）。由于集中力的存在，拱的压力线为在集中力作用点处有转折的曲线。但实际设计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好，故多用悬链线作为拱轴线。为了使悬链线与其恒载压力线重合，一般采用“五点重和法”确定悬链线的m值。即要求拱轴线在全拱（拱顶、两l/4点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重合。其相应的拱轴系数确定如下重庆交通学院桥梁系孙淑红拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。对拱脚取距，由有：0AMfMHjg对拱脚取距，由得：对l/4截面取距，由得：0BM4/14/14/14/10yMHMyHgg（1－2－26）代上式到式（1－2－26），可得：jMMfy4/14/1（1－2－27）4/1M自拱定至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力距。重庆交通学院桥梁系孙淑红2)1(214/1mfy求得后，即可求得m值：fy4/11)2(2124/1yfm空腹拱的m值，任需采用试算法计算（逐次渐近法）。（1－2－28）重庆交通学院桥梁系孙淑红（3）悬链线无铰拱的弹性中心无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱若从拱定切开取基本结构，多余力X1（弯矩），X2（轴力）为对称，而X3（剪力）是反对称的，故知副系数：0032233113但仍有02112为了使，可以按下图引用“刚臂”的办法达到。02112＝重庆交通学院桥梁系孙淑红02112sssEIdsEIdsyy1可以证明当时，02112＝重庆交通学院桥梁系孙淑红设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI就代表此图的面积，而上式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为弹性中心。对于悬链线无铰拱有：)1(11chkmfydldxdscos12cos21llx其中：kshtg2221111cos则：kshlds2212这样：10221022111)1(1dkshdkshchkmfdsdsyysss重庆交通学院桥梁系孙淑红（4）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩值Mp可以按下式计算：yHMgp其中：y为三铰拱压力线在该截面的偏离值对于无铰拱，由于其是超静定结构，偏离弯矩将引起次内力，其计算过程如下：取左图所示的基本结构，赘余力X1，X2作用在弹性中心，则有：重庆交通学院桥梁系孙淑红ssgsspssppIdsdsIyHIdsdsIMEIdsMEIdsMMX2111111ssgssppIdsydsIyyHEIdsMEIdsMMX22222222（1－2－29）（1－2－30）yHMMgp11yM2任意截面的弯矩为：pMyXXM21其中：y以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴坐标。重庆交通学院桥梁系孙淑红拱顶、拱脚处：Mp=0拱顶：021sdyXXM拱脚：0)(21sjyfXXM其中，ys弹性中心至拱顶的距离。（5）拱轴系数初值的选定坦拱：m值选用较小陡拱：m值选用较大djggm重庆交通学院桥梁系孙淑红8.2拱桥内力计算（一）、等截面悬链线拱桥恒载（自重）内力计算恒载内力拱轴线与压力线相符不考虑弹性压缩弹性压缩拱轴线与压力线不相符拱轴线与压力线不相符产生次内力不考虑弹性压缩弹性压缩1、不考虑弹性压缩的恒载内力1）实腹拱实腹式悬链线的拱轴线与压力线重合，恒载作用下拱的任意截面只存在轴力，而无弯矩，此时拱中轴力可按以下公式计算。在进行悬链线方程推导时有：重庆交通学院桥梁系孙淑红（1－2－20）)1(212mfHglkgd)1ln(21mmmchk（1－2－23）恒载水平推力Hg：利用上式有flgkflgkmHdgdg222412/1ll其中：（1－2－42）241kmkg拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即dlgdxgVxlxg11001重庆交通学院桥梁系孙淑红代fymgyggddx11)1(1到上式，并积分，有lgklgmmmVdgdg'22)]1[ln(21（1－2－43）其中)]1[ln(2122mmmVg拱圈各截面的轴力N：由于不考虑弹性压缩时恒载弯矩和剪力为零，有cosgHN（1－2－44）重庆交通学院桥梁系孙淑红2）空腹拱在计算空腹式悬链线不考虑弹性压缩的恒载内力时，可分为两部分，即先不考虑拱轴线与压力线偏离的影响，假设恒载压力线与拱轴线完全重和，然后再考虑偏离的影响，计算由偏离引起的恒载内力，二者叠加。不考虑偏离的影响：此时拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到fMHjgPVg（半拱恒载重力）cosgHN偏离的影响可按式（1－2－29）～式（1－2－30）首先计算出21,XX然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。半拱恒载对拱脚的弯矩重庆交通学院桥梁系孙淑红sin)(cos21212XQyHyyXXMXNgs（1－2－45）在设计中小跨径的空腹式拱桥时可以偏于安全地不考虑偏离弯矩的影响。大跨径空腹式拱桥的恒载压力线与拱轴线一般比中、小跨径偏离大，一般要计入偏离的影响。重庆交通学院桥梁系孙淑红2、弹性压缩引起的内力在恒载产生的轴向压力作用下，拱圈的弹性变性表现为拱轴长度的缩短。首先将拱顶切开，假设拱圈可以自由变形，并假设弹性压缩会使拱轴方向缩短l（右图所示）。由于在实际结构中，拱顶没有相对水平位移，其变形受到约束，则在弹性中心处必有一水平拉力Hg由变形相容方程有：'22'220lHlHgg其中：coscos0sslEANdsdsdxlcosgHNHg的计算重庆交通学院桥梁系孙淑红lglgEAdxHEAdxHl00coscosssssEAdsEAdsyEAdsNEIdsM222222'22cossEIdsy2)1(其中：1yyysssEIdsyEAds22cos