排列组合专题复习及经典例题详解

1排列组合专题复习及经典例题详解1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略．3.难点综合运用解题策略解决问题．4.学习过程:(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法……在第n类型办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN...21种不同的方法．2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法……，做第n步有nm种不同的方法；那么完成这件事共有nmmmN...21种不同的方法．特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，nm时叫做选排列，nm时叫做全排列.4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnP表示.5．排列数公式：）、（NmnnmmnnmnnnnPmn,)!(!)1)...(2)(1(排列数具有的性质：11mnmnmnmPPP特别提醒：规定0!=126．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号mnC表示.8．组合数公式：)!(!!!)1)...(2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn组合数的两个性质：①mnnmnCC；②11mnmnmnCCC特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：)(4805514种PP方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P种站法，然后中间4人有44P种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：（种）4804425PP方法三：若对甲没有限制条件共有66P种站法，甲在两端共有552P种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：)(48025566种PP（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P种站法，根据分步乘法计数原理，共有)(2402255种PP方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P种方法，最后让甲、乙全排列，有22P种方法，共有)(240221544种PPP3（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P种站法，故共有站法为（种）4802544PP此外，也可用“间接法”，6个人全排列有66P种站法，由（2）知甲、乙相邻有2402255PP种站法，所以不相邻的站法有)(480240720225566种PPP.（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P种，故共有（种））（14432244PP站法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P种方法，故共有（种）144223324PPP站法.（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22P种，再让其他4人在中间位置作全排列，有44P种，根据分步乘法计数原理，共有（种）484422PP站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有22P种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有44P种站法，由分步乘法计数原理共有（种）484422PP站法.（6）方法一：甲在左端的站法有55P种，乙在右端的站法有55P种，甲在左端而且乙在右端的站法有44P种，故甲不站左端、乙不站右端共有66P-255P+44P=504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有441414PPP种，故共有55P+441414PPP=504（种）站法.考点二:组合问题例2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【解析】：（1）选法为（种）1202436CC.4（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614CCCCCCCC.方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从10人中任选5人有510C种选法，其中全是男运动员的选法有56C种.所以“至少有1名女运动员”的选法（种）24656510CC.（3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为48C；“只有女队长”的选法为48C；“男、女队长都入选”的选法为38C；所以共有248C+38C=196（种）选法.方法二：间接法：从10人中任选5人有510C种选法.其中不选队长的方法有58C种.所以“至少1名队长”的选法为510C-58C=196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有49C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有48C种选法，而且其中不含女运动员的选法有45C种，所以不选女队长时的选法共有4548CC种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849CCC种.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有种14422132414PCCC；（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有24C种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类：第一类有序不均匀分组有8221134PCC种方法；5第二类有序均匀分组有622222224PPCC种方法.故共有842222222422113424）（PPCCPCCC种.当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有7024151425CCCC种．解题策略：合理分类与准确分步的策略．2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48种B.12种C.18种D.36种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有24331212PCC种选法．（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有222P种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有633P种方法．故共有363322331212PPPCC种选法．解题策略：①.特殊元素优先安排的策略．②.合理分类与准确分步的策略．③.排列、组合混合问题先选后排的策略．3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.162【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有12C种方法，②.从3个奇数中选两个，有23C种方法；③.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有13C种方法；④.其他的3个数字进行全排列，有33P种排法，根据乘法原理共有10833132312PCCC种方法．（2）不含0，分步：①偶数必然是2和4；②奇数有23C种不同的选法，③然后把4个元素全排列，共44P种排法，不含0的排法有724423PC种．根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）6A.150种B.180种C.300种D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有345121625261315CCCCCC种选法．解题策略：合理分类与准确分步的策略．5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：⑴．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有62224CC种．⑵．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有414C种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，有61213CC种选法，由分步计数原理此时共有24121314CCC种．最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选C．法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有362424CC种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有624C种选法，所以至少有一门不相同的选法为30242424CCC种不同的选法．解题策略：正难则反，等价转化的策略．6.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.648【解析】：第一类个位是0，共29P种不同的排法；第二类个位不是0，共181814CCC种不同的解法．故共有29P+181814CCC=328（个）．解题策略：合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、