求数列通项公式的方法

求数列的通项公式普通高中课程标准实验教材必修（5）类型一观察法：已知前几项，写通项公式1411111--23422020例写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：（），，，（），，，11(1)1(2)(1)1nnnnana解：（）3、写出下列数列的一个通项公式:(3)9,99,999,9999,……解：an=10n－1(4)1,11,111,1111,……分析：注意观察各项与它的序号的关系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)91这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！细心观察合理联想善于总结分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系)(*Nn2.｛an｝的前n项和Sn=2n2－1，求通项an二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！当n=1时,a1=1不满足上式因此an=1(n=1)4n－2(n≥2,)*nN练习：已知{an}中，a1+2a2+3a3+•••+nan=3n+1,求通项an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1时,a1=9（n≥2）两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）*nN例3：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n(n≥2),求通项an.类型三、累加法形如的递推式1()nnaafn11223343221123.......32nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa解：以上各式相加n1a(234)(n+2)(n-1)=1+2an得练：111311,3(2)2nnnnnaaaanan已知中,证明：例4：12,3,.nnnnnaaaaa1已知中，求通项类型四、累乘法形如的递推式1()nnafna1234123123423221232113,3,3,3.......3,33333323nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2(-1)22323nnnnnna练：122,2,.nnnnaaaaan1已知中，求通项例5：111,21.nnnnaaaaa数列满足,求类型五、形如的递推式1nnapaq分析：配凑法构造辅助数列11-11112112112(1)121112+1112221解：是以为首项，以为公比的等比数列nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa12,3+2,.1练:已知中，求通项nnnnaaaaa11()()1nnnnapaqqatpattp对于，可用待定系数法转化为例6：111,,21nnnnnaaaaaa数列满足:求通项公式取倒法构造辅助数列类型六、形如的递推式1nnnpaaqap111n11n12111221a112aannnnnnaaaaaa解：是以为首项，以为公差的等差数列1111(1)22-12-1nnnnaaan类型七、相除法形如的递推式11nnnaAaBA例7：1113,33,nnnnaaaaan数列满足:求通项公式.1111133133133-11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）类型八、形如的递推式11nnnnaapaa例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求11111112211-211545-1(-2)-222245nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）求数列的通项公式类型方法1、已知前几项观察法2、已知前n项和Sn前n项和法3、形如的递推式累加法4、形如的递推式累乘法5、形如的递推式待定系数法6、形如的递推式取倒法7、形如的递推式相除法1()nnaafn1()nnafna1nnapaq1nnnpaaqap11nnnaAaBA构造辅助数列11nnnnaapaa1：1215,,,2,6103-311(1);2(2)(3).nnnnnnaanNnaxaxaanS设数列若对任意的二次方程都有根、，且满足求证：是等比数列求通项；求前项和练习2：11,3,2(2)1.nnnnnnaaaSSnSa已知求证：是等差数列，并求公差；求的通项公式24,1,3,.nnnaaaaaan+2n+1123.在中，a且求