饱和非线性的描述函数

§7-2描述函数法一、描述函数的基本概念非线性系统的结构图如图所示。图中Ｇ(s)为线性部分的传递函数，N为非线性元件。(1)设非线性环节N的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。tAtxsin)(,2,1)cossin()(10ktkCtkBYtykkkωω设输入为：非线性环节的输出为：)sin()(tAftyω利用富氏级数展开，有式中：Y0是输出信号中的直流分量；Bk和Ck是输出信号中各次谐波分量的幅值，在一般情况下是输入信号幅值A和频率ω（1）（2）（3）(2)设非线性环节的输出是对称奇函数，则式(3)中的偶次项等于零，上式可简,5,3,1)cossin()(1ktkCtkBtykkkωω（4）上式表明，非线性环节的输出量含有高次谐波。(3)设系统的线性部分具有低通滤波器特性。于是对整个系统来说，高次谐波可以忽略。这样式(4)可进一步简化为)(sincossin)(1111φωωωtYtCtBty式中，或写成根据富氏级数的系数项公式，有11121211tan,BCCBYφ111111sin,cosφφYCYBπωωπ201sin)(1ttdtyBπωωπ201cos)(1ttdtyC（6）（8）（7）式(6)可写成矢量形式:)(11φωtjeYYtjAeXω输入正弦函数也写成矢量形式，有令（9）（10）11.)(φjeAYXYAN)()(sincos)(111111AjCABACjABAYjAYANφφππωωπωωπ201201cos)(1)(sin)(1)(ttdtyAACACttdtyAABAB将上式写成复数的形式，有式中（11）（12）式(11)为该非线性环节的描述函数描述函数的定义非线性环节在正弦函数输入下，输出中的一次谐波(基波)分量和输入正弦波的矢量比(写成复数的形式)来描述该非线性的特征，这个比值称为该非线性环节的描述函数。这相当于用一个等效的线性环节代替了原来的非线性环节，而等效线性环节的幅相特性函数N(A)，是输入函数x(t)＝Asinωt幅值A的函数，等效的结构图如图所示。由于描述函数是非线性元件的等效传递特性，它是在只考虑基波分量之后得到的结果，所以这种近似处理方法又称为“谐波线性化法”。当非线性元件用描述函数表示后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性。二、典型非线性特性的描述函数1、饱和非线性的描述函数饱和非线性如图所示。20sin)(11πωθαθωωtKttAKtynn0)(AC)cos(2)(11θθπAaKABn)()(1sin2)(021aABKAaAaAaKANnnπ2100)(1sin2)()(AaAaAaaABANπ饱和特性数学表达式为：由于y(t)为单值奇对称函数，故有，，其描述函数为可见，饱和非线性的描述函数虚部为零，只有一个实部。基准描述函数Aa11sinθ（）实际上，在确定自振荡频率ω和幅值A时，常用基准描述函数的负倒数，对于饱和非线性，它的基准描述函数的负倒数为，把它画在复平面上，是一条起自(-1，j０)点，随着的增长，沿负实轴向左延伸的直线,)(10AN)(10aABAa2当输入为正弦函数x(t)＝Asinωt时，死区非线性及其输入输出波形如图所示。2)sin(00)(11πωθωθωtatAKttxn死区非线性的数学表达式为y(t)为单值奇对称函数，故有所以其描述函数为21)(1sin22)()()(AaAaAaKAjCABANnππ)()()(00aABKANANn死区非线性的基准描述函数为0)(AC)()(1sin22)(021aABKAaAaAaKABnnππ，Aa11sinθ式中从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。它是一条在实轴上沿着变化的直线，起自，随着增长，以－1为终点。~1Aa3、回环（间隙）非线性的描述函数当输入为正弦函数x(t)＝Asinωt时，回环（间隙）非线性具有非单值特性，回环非线性曲线及其输入-输出波形如图所示。πωθπαωθπωπεπωαωttAKtAKttAKtynnn11)sin(2)(20)sin()()(ty)()1(4)(0aACKAaAaKACnnπ)()1()21(2)21(sin2)(01ABKAaAaAaAaKABnnππ为奇对称，但非单值回环（间隙）非线性的数学表达式为：)()()()()()(000ANKaAjCaABKAjCABANnn所以其描述函数为回环非线性的描述函数是复数，基准描述函数负倒数曲线如图所示。继电器特性及其正弦信号输入时的输入-输出波形如图所示。4继电器特性的数学表达式为：Aa11sinθ21)(θωθtMty其中：，Ama12sinπθ同理可得：22)(1)(12sin2)(12AmaAaaAMattdMAABπωωπθθ)1(2cos2)(2212maAMattdMAACπωωπθθ令，则上述两式可改写为),()(1)(12)(022maABKAmaAaAaKABnnπ),()1(2)(022maACKmAaKACnnπaMKn由此可得继电器特性的基准描述函数为220)(1)(12),(AmaAaAamaABπ)1(2),(220mAamaACπ000jCBN当m取不同值时，继电器特性的基准描述函数负倒数曲线如图所示。三、典型非线性环节串联时的描述函数例1:求如图所示非线性环节的等效形式两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符合谐波线性化的条件，故不存在描述函数，求取串联环节的传递函数时应求取其等效非线性特性的描述函数。)(2ANaxMyeeeekx00)()(0eeka0ekae0eka：令即解:由图可知)(22xky)(11ekx)()(1212121112ekkekkkekky例2:求如图所示非线性环节的等效形式解:由图可知12121kkkk所以有其中四、非线性控制系统的描述函数分析1、控制系统的稳定性分析很多非线性系统通过适当地简化，都可化为由线性部分和非线性部分串联而成的系统。假设非线性元件和系统满足描述函数的条件，则非线性部分可以用描述函数N(A)表示，线性部分可以用传递函数G(s)或频率特性G(jω)表示。因N(A)是经过谐波线性化后的等效线性环节，可以作为一个具有实数或复数增益的放大环节来处理，于是非线性系统可以看成是一个等效的线性系统，并可以应用线性理论中的频率判据来判断闭环系统的稳定性。)()(1)()()()()(ωωωωωjGANjGANjRjCj0)()(1ωjGAN特征方程为－非线性特性的基准描述函数负倒数如图所示系统，闭环系统的频率特性为)(1)(0ANjGKnωnK或)(10AN式中－非线性元件线性部分的放大系数;用描述函数法分析非线性系统稳定性的准则是:假设线性部分是最小相位系统，则如果线包围线，表明系统有正特征根，不稳定；如果不包围线，则系统稳定；如果两线相交，如图所示，则表明系统可能产生不衰减的简谐振荡，简称自振荡。式就是用来确定两线交点的方程，也称之为非线性系统产生自振荡的条件。)(ωjGKn)(10AN)(10AN)(1)(0ANjGKnω由于稳定参考点P2位于曲线之外，所以系统是稳定的，收敛的，它的振幅会逐渐衰减回到值。又设扰动作用使振幅减小为，亦即稳定参考点由P移到P1，而P1点被曲线包围，系统不稳定，它的振幅会随时间增大回到值。由上面分析可知，P要判断系统能否产生自振荡，还要判断交点具有收敛的还是发散的特性。研究上图的交点P。假设有一扰动，使振幅由增大为,即稳定参考线上P点移到P2点，)(ωjGKnPaA)()()(aAaAPPaA)(PaA)()()(aAaAP)(ωjGKnPaA)(同理可以证明Q点具有发散的特性。2、典型非线性特性对系统的稳定性的影响例1:具有饱和非线性的控制系统如图所示，试判断系统是否有自振荡状态？若有解：查表可知饱和非线性特性的描述函数为中：Kn＝2，a＝1又知饱和非线性的基准描述函数负倒数曲线是位于实轴上-1→-∞的直线，系统线性部分的频率特性为aAAaAaAaKANn21)(1sin2)(π)105.00004.0()02.01(3.015)12.0)(11.0(15)(242ωωωωωωωωωjjjjjG在复平面上画出曲线，如图所示。由图可见，与曲线交于(-2，j0)点。根据自振荡的判别方法该点具有收敛的特性，即系统存在自振荡，振荡的频率可令的虚部等于零)(ωjGKn)(ωjGKn)(10AN)(ωjGKn21111sin4)(1210AAAANπ求得，即1-0.02ω２＝0，求得ω＝7.07rad/s根据两条曲线在交点处的幅值相等，即求得与交点对应的振幅A＝2.5。例2：设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。解：该继电特性的描述函数为AMAN4)(，这里M=1，其负倒特性为AAN4)(10π当A从0变化时,)(10AN从0变化,即)(10AN在Nyquist图上为负实轴线性部分)2)(1(10)(ssssG)()(Re)2)(1(10)(ωωωωωωjGjIjGjjjjGm270)(0)(90)()(0jwGjwGwjwGjwGw)(jwG与)(1AN的交点为稳定极限环有：)(1)(Re000ANjGω舍负20)(00ωωjGIm故02444)2(5)2(30A解得：12.2184300A因此自持振荡的振幅和频率为2,12.200ωA)(1)(K0nANjGω由描述函数法只是用于研究非线性系统的自振荡工作状态，它的应用具有以下条（1（2在判断系统稳定性时，把基准描述函数的负倒数特性作为参考线，如果幅相曲线包围线，表示系统会产生发散振荡，系统不稳定；不包围线，则系统稳定；两线相交，且交点具有收敛特性，则系统会出现自振荡。在用描述函数法研究非线性系统时，往往接入校正装置，以使线性部分的幅相曲线不包围线，从而实现系统稳定的目的。)(ωjGKn)(10AN)(10AN)(10AN