线性代数第四章第四节

在上一章中,我们已经介绍了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法,并建立了两个重要定理,即一、方程组有解的条件与解法(1)n个未知量的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是系数矩阵的秩R(A)n.(2)n个未知量的非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩,且当R(A)=R(B)=n时方程组有唯一解,当R(A)=R(B)=rn时方程组有无穷多解.下面我们用向量组线性相关的理论来讨论线性方程组的解.二、齐次线性方程组1.基础解系(1)解向量设有齐次线性方程组记,21212222111211nmnmmnnxxxx,aaaaaaaaaA(1)000221122221211212111,xaxaxa,xaxaxa,xaxaxanmnmmnnnn121111nx则(1)式可写成向量方程Ax=0.(2)若x1=11,x2=21,···,xn=n1为(1)的解,则称为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.(2)解向量的性质性质1若x=1,x=2为(2)的解,则x=1+2也是(2)的解.证只要验证x=1+2满足方程(2):A(1+2)=A1+A2=0+0=0.性质2若x=1为(2)的解,k为实数,则x=k1也是(2)的解.证A(k1)=k(A1)=k0=0.把方程Ax=0的全体解所组成的集合记作S,如果能求得解集S的一个最大无关组S0:1,2,···,t，那么方程Ax=0的任一解都可由最大无关组S0线性表示；另一方面，由上述性质1、2可知，最大无关组S0的任何线性组合x=k11+k22+···+ktt都是方程Ax=0的解，因此上式便是方程Ax=0的通解.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.由上面的讨论可知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系.上一章我们用初等变换的方法求线性方程组的通解，下面我们用同一方法来求齐次线性方程组的基础解系.,0000000010011111rr,nrr,nbbbbB2.基础解系的求法设系数矩阵A的秩为r,并不妨设A的前r个列向量线性无关,于是A的行最简形矩阵为)3(,,1111111nrr,nrrrnr,nrxbxbxxbxbx与B对应,即有方程组把xr+1,···,xn作为自由未知量，并令它们依次等于c1,···,cn-r，可得方程组(1)的通解.100010001,,121221111211rnrrnrnrrnrrrbbcbbcbbcxxxxx把上式记作x=c11+c22+···+cn-rn-r,可知解集S中的任一向量x能由1,2,···,n-r线性表示，又因为矩阵(1,2,···,n-r)中有n–r阶子式|En–r|0故R(1,2,···,n-r)=n–r,所以1,2,···,n-r线性无关.根据最大无关组的等价定义，即知1,2,···,n-r是解集S的最大无关组，即1,2,···,n-r是方程组(1)的基础解系.在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程组的通解，再从通解求得基础解系.其实我们也可先求基础解系，再写出通解.这只需在得到方程组,,1111111nrr,nrrrnr,nrxbxbxxbxbx((3)3)以后，令自由未知量xr+1,xr+2,···,xn取下列n–r组数：,,,,xxxnrr10001000121由(3)即依次可得,bb,,bb,bbxxrr,nr,nrrr12121111从而求得(3)也就是(1)的n–r个解：.bb,,bb,bbrr,nr,nrnrr100010001121221111依据以上的讨论，还可推得定理7设m×n矩阵A的秩R(A)=r,则RS=n–r.n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩当R(A)=n时,方程组(1)只有零解,因为没有基础解系(此时解空间S只含一个零向量,为0维向量空间).而当R(A)=rn时,方程组(1)必有含n–r个向量的基础解系.因此，由最大无关组的性质可知，方程组(1)的任何n–r个线性无关的解都可构成它的基础解系.并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的.例12求齐次线性方程组0377023520432143214321xxxx,xxxx,xxxx的基础解系与通解.137723521111A行变换行变换0000747510737201便得.xxx,xxx43243174757372对系数矩阵A作初等行变换,变为行最简形矩阵,有解解例13设Am×nBn×l=O，证明R(A)+R(B)≤n.例14设n元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，证明R(A)=R(B).例15证明R(ATA)=R(A).例例1515证明R(ATA)=R(A).设A为m×n矩阵,x为n维列向量.若x满足Ax=0,则有AT(Ax)=0,即(ATA)x=0;若x满足(ATA)x=0,则xT(ATA)x=0,即(Ax)T(Ax)=0,从而推知Ax=0.综上可知方程组Ax=0与(ATA)x=0同解,因此R(ATA)=R(A).证毕证毕证明证明(4)22112222212111212111,bxaxaxa,bxaxaxa,bxaxaxamnmnmmnnnn三、非齐次线性方程组1.非齐次线性方程组解的性质设有非齐次线性方程组它也可写成向量方程Ax=b,(5)向量方程(5)的解也就是方程组(4)的解向量,它具有性质3设x=1及x=2都是(5)的解,则x=1-2为对应的齐次线性方程组Ax=0(6)的解.A(1-2)=A1-A2=b-b=0,即x=1-2满足方程(6).证明证明证毕证毕性质4设x=是方程(5)的解,x=是方程组(6)的解,则x=+仍是方程(5)的解.A(+)=A+A=0+b=b,即x=+满足方程(5).由性质3可知,若求得(5)的一个解,则(5)的任一解总可表示为x=+,x=k11+k22+···+kn-rn-r,则方程(5)的任一解总可表示为其中x=为方程(6)的解,又若方程(6)的通解为证明证明2.非齐次线性方程组解的结构由上述讨论知,非齐次线性方程组的解等于它所对应的齐次线性方程组的通解加上它的一个特解.A(+)=A+A=0+b=b,即x=+满足方程(5).由性质3可知,若求得(5)的一个解,则(5)的任一解总可表示为x=+,x=k11+k22+···+kn-rn-r,则方程(5)的任一解总可表示为其中x=为方程(6)的解,又若方程(6)的通解为证明证明例16设有非齐次线性方程组.2275532,155432,722543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx求该方程组的通解.例例1616设有非齐次线性方程组.2275532,155432,722543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx求该方程组的通解.用初等行变换将增广矩阵B化为行最简形矩阵,解解方程组Ax=b的解,R(A)=1,且,111,011,001313221求方程组的通解.例已知1,2,3是三元非齐次线性由题设易得)()2(21323211)()]()()[(2132313221,21021解解本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.