专题22-坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

1专题22坐标系与参数方程【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）C的直角坐标方程为221(1)4yxx；l的直角坐标方程为23110xy；（2）7．【解析】（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx．l的直角坐标方程为23110xy．（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）．C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377．当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．2221141txttyt，2cos3sin1102【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30．（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程．【答案】（1）2C的直角坐标方程为22(1)4xy；（2）1C的方程为4||23yx．【解析】（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆．由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点．当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k或0k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点．当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k或43k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点．综上，所求1C的方程为4||23yx．【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，结合图形，将曲线相交的交点个数问3题转化为直线与圆的位置关系问题，从而求得结果.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,（xattyt为参数）.（1）若1a，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525；（2）8a或16a．【解析】（1）曲线C的普通方程为2219xy．当1a时，直线l的普通方程为430xy．由22430,19xyxy解得3,0xy或21,2524.25xy从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525．（2）直线l的普通方程为440xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad．当4a时，d的最大值为917a．由题设得91717a，所以8a；当4a时，d的最大值为117a．由题设得11717a，所以16a．综上，8a或16a．4【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性可求得参数a的值．【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2.理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题.【命题规律】高考中以解答题的形式考查参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，难度不大，熟练应用互化公式、理解参数的几何意义即可顺利解决.【答题模板】解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为：第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.另外，当直线经过点P(x0,y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成00cossinxxtyyt(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1+t2，t1·t2，得到|AB|=|t1-t2|=121242tttt.【方法总结】1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x,y的值.一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数;与直线有关的问题，常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数.此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．极坐标方程与直角坐标方程互化5进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.5．几种常见曲线的参数方程（1）圆以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是cossinxarybr，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为cossinxryr，其中α是参数．（2）椭圆椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb，其中φ是参数．椭圆22221(0)xyabba的参数方程是cossinxbya，其中φ是参数．（3）直线经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是00cossinxxtyyt，其中t是参数．1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在直角坐标系xOy中，曲线1C：5cos25sinxy（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C：624cos3.（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若曲线1C与2C交于A，B两点，A，B的中点为M，点0,1P，求PMAB的值.【答案】（1）1C的普通方程为2225xy，2C的直角坐标方程为22430xyx；（2）3.【解析】（1）曲线1C的普通方程为2225xy.由222xy，cosx，得曲线2C的直角坐标方程为22430xyx.（2）将两圆的方程2225xy与22430xyx作差得直线AB的方程为10xy.点0,1P在直线AB上，设直线AB的参数方程为22212xtyt（t为参数），代入22430xyx，化简得23240tt，所以1232tt，124tt.因为点M对应的参数为123222tt，所以21212121232422ttPMABtttttt32184432.【名师点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、参数方程、普通方程的互相转化，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义．2．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为23cos13sinxy（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点(2,1)的直线l与曲线C交于A，B两点，且2AB，求直线l的方程.【答案】（1）24cos2sin40；（2）10xy或30xy.7【解析】（1）消去参数，可得曲线C的普通方程为22(2)(1)9xy，即224240xyxy，由cossinxyrqrqì=ïí=ïî，得曲线C的极坐标方程为24cos2sin40.（2）显然直线l的斜率存在，否则无交点.设直线l的方程为1(2)ykx，即210kxyk.而2AB，则圆心到直线l的距离2291222ABdr.又2|4|1kdk，所以2|4|221kk，解得1k.所以直线l的方程为10xy或30xy.【名师点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、参数方程的互化、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力以及数形结合思想.3．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学】在直角坐标系xOy中，曲线1cos:1sinxtCyt（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为π2cos333.（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）已知点(2,0)M，直线l的极坐标方程为π6，它与曲线1C的交点为O，P，与曲线2C的交点为Q，求△MPQ的面积.【答案】（1）1:2sinC；（2）1.【解析】（1）1cos:1sinxtCyt，普通方程为2211xy，8化为极坐标方程为1:2sinC.（2）联立1C与l的极坐标方程：2sinπ6，解得P点的极坐标为π1,6，联立2C与l的极坐标方程：π2cos333π6，解得Q点的极坐标为π3,6，所以||2PQ，又点M到直线l的距离π2sin16d，故△MPQ的面积1||12SPQd.【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程的互化，极径的几何意义，联立曲线与直线的极坐标方程求出交点的坐标是解题的关键.4．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学】已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos2sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin30.（1）求直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l距离的最小值和最大值.【答案】（1）30xy；（2）最大值为32102；最小值为32102.【解析】（1）将cos,sinxy代入cossin30，可得直线l的直角坐标方程为30xy.（2）曲线C上的点cos,2sin到直线l的距离cos2sin32d5sin32，9其中2cos5，1sin5.故曲