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2．3变量间的相关关系第二章第二章2．3.1变量之间的相关关系2．3.2两个变量的线性相关课前自主预习方法警示探究思路方法技巧随堂应用练习课后强化作业课前自主预习新课引入西方流传的一首民谣：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国．马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多大呢？显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么样的关系？本节，我们共同研究．自主预习阅读教材P84－91，回答下列问题：1．相关关系(1)定义：如果两个变量有一定的关系，但不是函数关系那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从角到角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从角到角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．左下右上左上右下[归纳总结]两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是()A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田施肥量和粮食亩产量[答案]A[解析]在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高．所以B、C、D是相关关系．故选A.规律总结：函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系，判断两个变量间的关系是否为相关关系的关键是看这个关系是否具有不确定性．(2)如下图所示，表示两个变量不具有相关关系的有________．[答案]①④[解析]①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关[答案]C2．线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到它的最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式给出：直线回归直线．距离的平方和其中，b^是回归方程的，a^是回归方程在y轴上的斜率截距．[破疑点]线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．下列有关回归方程y^＝b^x＋a^的叙述正确的是()①反映y^与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示y^与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]D[解析]y^＝b^x＋a^表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系．故选D.随堂应用练习1．下列两个变量之间的关系：①角度和它的余弦值；②正n边形的边数与内角和；③家庭的支出与收入；④某户家庭用电量与电价间的关系．其中是相关关系的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A2．下列关系中为相关关系的有()①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④[答案]A4．散点图的作用()A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否具有相关关系[答案]D5．设一个回归方程为y^＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时()A．y平均增加1.2个单位B．y平均增加3个单位C．y平均减少1.2个单位D．y平均减少3个单位[答案]A6．现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12)，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．[答案]D7．线性回归方程y^＝bx＋a，过定点________．[答案](x－，y－)命题方向回归直线方程[例2]随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料：使用年限x23456总费用y2.23.85.56.57.0若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y^＝b^x＋a^的回归系数a^、b^；(2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？[分析]第一步，列表xi，yi，xiyi；第二步，计算x－，y－，i＝1nx2i，i＝1ny2i，i＝1nxiyi；第三步，代入公式计算b，a的值；第四步，写出回归直线方程．(1)利用公式：b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－n－2a^＝y－－b^x－，来计算回归系数．有时为了方便常列表，对应列出xiyi、x2i，以利于求和．(2)获得线性回归方程后，取x＝10，即得所求．于是b^＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23；a^＝y－－bx－＝5－1.23×4＝0.08.(2)线性回归直线方程是y^＝1.23x＋0.08，当x＝10(年)时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元．规律总结：求回归直线方程应给出线性回归系数公式，在求解时为了使计算更准确可以先制表，这样使计算过程更具条理性．8．下表提供了某厂节能降耗技术改造生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？[解析](1)散点图如下：(2)y＝0.7x＋0.35，过程略(3)19.65吨标准煤由图可见，具有线性相关关系．某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：由资料显示y对x呈线性相关关系.x24568y3040605070根据上表提供的数据得到回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．[答案]15[解析]x－＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y－＝30＋40＋60＋50＋705＝50.∵回归方程过样本中心(5,50)，代入y^＝6.5x＋a^得a^＝17.5，∴y^＝6.5x＋17.5，当y^＝115时，x＝15.