第七章---应力与应变分析、强度理论

第七章应力与应变分析、强度理论第一,二节应力状态的概念第三节平面应力状态分析(解析法)第四节平面应力状态分析(图解法)第五节三向应力状态简介第八节广义虎克定律第十一,十二节四种强度理论请看下列实验现象：低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的扭转实验应力状态概述问题的提出复习:低碳钢拉伸实验韧性材料-低碳钢轴向拉伸时为什么会出现滑移线？滑移线铸铁扭转实验脆性材料-铸铁扭转时为什么会沿450螺旋面断开？以前的知识不能解释这些现象钢筋混凝土简支梁问题的提出AF轴向拉伸杆件FFFpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；横截面应力：梁弯曲的强度条件：.,*maxmaxmaxmaxbISFWMzszzzFFFl)(B问题2一点处应力该如何校核？BB——有必要研究一点的应力状态。一方面：研究通过一点各不同方位截面上应力的变化规律。一方面：需要探求材料破坏的规律。建立复杂受力时的强度条件研究在各种不同的复杂受力形式下：强度失效的共同规律假定失效的共同原因利用单向拉伸的实验结果强度理论FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受力之前,表面斜置的正方形这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。受拉后，正方形变成了菱形。FPFP拉伸表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。圆变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。扭转MxMx一点的应力状态：过一点处，即一微元所有方位面上的应力集合，称为该点的应力状态。（1）什么是一点的应力状态围绕一点作一微小单元体，即微元为什么分析一点的应力状态？找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。1.基本概念根据微元的局部平衡拉中有剪xyxxxxxy剪中有拉yxxyyxxyyxxxy不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。横截面上的正应力分布应力的点的概念：同一面上不同点的应力不一定相同。横截面上的剪应力分布zMNxFQFxxxyxyyxxxy应力的面的概念：同一点不同方向面上的应力也不一定相同。应力指明哪一个面上哪一点？哪一个点上哪一方向面？应力状态分析(analysisofstress-state)是用平衡的方法，分析过一点、在不同方向面上的应力以及这些应力之间的相互关系，并确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析在单元体各面上标上应力：应力单元体应力状态的分类yxzxyzxyyxyzzyzxxz各边边长,,dxdydz2.两个相互平行侧面上的应力情况相同.3.代表点三个相互垂直方向上的应力情况.1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的.单元体的特点应力与应变分析PMeMePPMeMec)同b)但从上表面截取Cb)横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面AP/AMe/WnABC几种受力情况下截取单元体方法：（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面(法线)，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示yxxyxzzxzyyz，，单元体上的应力分量应力与应变分析根据材料的均匀连续假设，微元体各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系:正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。xOzydzdxdyXYZOyyzzyxyxxyxyxxzxxzzxxz应力与应变分析应力角标规定：第一角标表示应力作用面(法线表示)，第二角标表示应力平行的轴，角标相同时只用一个角标表示.二、应力状态分类(按主应力)1.基本概念主平面：单元体上剪应力为零的面；主应力：主平面上作用的正应力，用1、2、3表示，按1≥2≥3(根据大小排列).应力与应变分析旋转y'x'z'231xyzxzxyxzzxzyyzyxy2、应力状态的分类1)、空间应力状态:三个主应力1、2、3均不等于零2)、平面应力状态:三个主应力1、2、3中有两个不等于零3)、单向应力状态三个主应力1、2、3中只有一个不等于零312231221111空间应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxzxyxyyxxy平面应力状态特例三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例取单元体示例FPl/2l/2S截面5432154321S截面4PlFMz2PF5432154321S截面4PlFMz2PF1x122x3alSF例:画出如图所示梁危险截面危险点的应状态单元体xzy4321z432FSMZT12yxzAFWTSt342zzxWM1tWT1tWT3z432FSMZTxzy43213zzxWM3例:分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz薄壁圆筒的横截面面积:lmmnpD′nn(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F42DpFDA442pDDDpAF直径平面(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象pyOFNFNd0yF02plDl2pDplDdDplsin02一、平面应力分析的解析法1.平面应力状态图示：第三节平面应力状态分析yyxxyxxxxyyyxyx平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy和y,yx–3方向角与应力分量的正负号约定拉为正压为负xxxx正应力xyyxxy剪应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。方向角由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。xxyxxyyxxyyynxyxxyynxxyxxyynx平衡对象平衡方程参加平衡的量——用斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积0nF0F–3微元的局部平衡0nFxyxxyynxddcoscosdcossindsincosdsinsin0xxyyxyAAAAA0Fddcossindcoscosdsinsindsincos0xxyyxyAAAAA利用三角中的倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy＋－＝＋－－＝37xy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosx38xy22cos2yx2sinx2sin2yx2cosxxyxy例:图示单元体，已知x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa.试求ef截面上的应力情况n30°ef解:求ef截面上的应力MPa.)sin()()cos(sincos3586050602604026040222230xyyxyxMPa.)cos()()sin(cossin31860506026040222030xyyxMPa3.2060cos)20(60sin24030MPa8.2960sin)20(60cos2403024030)1oooo解：403020例:图示单元体，试求：=30o斜截面上的应力[例]分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。xxn解：y＝0，yx＝0。当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力：4545,22xx＝＝根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式cos222sin22xxx＝＋＝cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy＋－＝＋－－＝轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹45º角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。4545,22xx＝＝xxn认为屈服是由最大剪应力引起的[例]分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆轴试样扭转破坏的主要原因。解：纯剪应力状态下x＝y＝0，yxnyxxyxy纯剪应力状态max4545,0xy＝＝-＝压应力最大max4545,0xy－－＝＝＝拉应力最大sin2cos2xyxy＝－＝根据公式：cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy＋－＝＋－－＝max4545,0xy＝＝-＝max4545,0xy－－＝＝＝yxnyxxyxy铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面(即-45º螺旋面)断开的。因此，认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。1)最大正应力及方位令:2222222cossinsincosxyyxxyyxyx02222]cossin[xyyxddyxxytg22090000和0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.将0和0+90°代入公式:2222sincosxyyxyx得到max和min(主应力）2222xyyxyx)(minmaxxy箭头指向第几象限(一、四)，则较大主应力在第几象限xy'0*xy'0*2)最大切应力及方位:2222222cossinsincosxyyxxyyxyx02222]sincos[xyyxdd令:xyyx221tan90111和1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.将1和1+90°代入公式:222cossinxyyx222xyyx)(minmax,22201得到max和min可见10212tantan401解（1）求主平面方位yxxy220tan90902045450因为x=y，且xy0例:求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy所以0=-45°与max对应45°（2）求主应力2222xyyxyx)(minmax1=，2=0，3=-13xyxy例:图示单元体，已知x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa.试求ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef解:(1)求ef截面上的应力MPa.)sin()()cos(sincos3586050602604026040222230xyyxyxMPa.)cos()()sin(cossin31