Black-Scholes 期权定价模型

2020/5/1312020/5/1322020/5/133金融市场的构成金融市场分为货币市场、资本市场、外汇市场、黄金市场、保险市场、金融衍生工具市场等。货币市场是融通短期资金的市场（短期信贷市场、金融同业拆借市场、回购协议市场、商业票据市场等——央行主导）；资本市场是融通长期资金的市场（中长期信贷市场、证券市场、信托市场、风险投资市场等；）证券市场是股票、债券、基金单位等有价证券及其衍生产品（如期货、期权等）发行和交易的产所。证券市场是资本市场的核心，股票和债券是金融市场上最活跃、最重要的长期融资工具和金融资产。外汇市场是以外汇作为交易对象的市场；黄金市场是以黄金为交易对象的市场；保险市场是对因意外事故所造成的财产和人身损失加以弥补，以保险单和年金单的发行和转让为交易对象的市场；金融衍生工具有期货合约、期权合约、互换合约、远期利率协议等。2020/5/134证券市场中金融产品关系图金融工具股票期权期货债券权证备兑权证/结构化权证认股权证三、金融衍生产品简介金融衍生产品，从字面上理解自然是与金融相关的派生物，通常是指从原生资产（英文为UnderlyingAssets）派生出来的金融工具。金融衍生产品交易具有杠杆效应、联动性和风险性大的特点。三、金融衍生产品简介金融衍生产品的种类，在国际上是非常多的，而且由于金融创新活动的不断推出新品种，属于这个范畴的东西也越来越多。从目前的基本分类来看，则主要有以下三种分类：根据产品形态，可以分为远期、期货、期权和互换四大类。三、金融衍生产品简介金融衍生品（原生资产）股票衍生品利率衍生品信贷衍生品商品衍生品根据原生资产分类，即股票、利率、汇率和商品。三、金融衍生产品简介根据交易方法，可分为场内交易和场外交易。场内交易即是通常所指的交易所交易，指所有的供求方集中在交易所进行竞价交易的交易方式。场外交易即是柜台交易，指交易双方直接成为交易对手的交易方式，其参与者仅限于信用度高的客户。2020/5/139为什么研究衍生产品（金融风险）股市汇率金融衍生产品风险越来越大、科学问题越来越多风险度量2020/5/1310工具2020/5/13112020/5/13122020/5/13132020/5/13142020/5/13152020/5/13162020/5/13172020/5/1318期权定价公式在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其现值为[max(,0)]TtESXF()[max(,0)]rTtTtceESXF2020/5/1319证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为的伊藤过程来表示(为何用布朗运动)两边同除以S得：22StdSSdtSdBtdSdtdBS2020/5/13202020/5/1321ChangeofMeasure212020/5/1322TheoremLet(Ω,F,P)beaprobabilityspaceandletZbeanalmostsurelynonnegativerandomvariablewithEZ=1.ForAFdefineThenisaprobabilitymeasure.Furthermore,ifXisanonnegativerandomvariable,thenIfZisalmostsurelystrictlypositive,wealsohaveforeverynonnegativerandomvariableY.222020/5/1323ConceptofTheorem232020/5/1324ProofofTheorem(1)AccordingtoDefinition1.1.2,tocheckthatisaprobabilitymeasure,wemustverifythatandthatiscountablyadditive.WehavebyassumptionForcountableadditivity,letA1,A2,…beasequenceofdisjointsetsinF,anddefine,.Becauseand,wemayusetheMonotoneConvergenceTheorem,Theorem1.4.5,towrite242020/5/1325ProofofTheorem(2)But,andsoNowsupportXisanonnegativerandomvariable.IfXisanindicatorfunctionX=IA,thenwhichisWhenZ0almostsurely,isdefinedandwemayreplaceXinbytoobtain252020/5/1326Definition26ConditionalExpectation2020/5/1329ConditionalProbabilityDiscrete:ConditionalProbabilityMassFunctionyYPyYxXP,yYxXP|Continuous:ConditionalProbabilityDensityFunction)(),(:)|(|yfyxfyxfXYX2020/5/1330ConditionalExpectationDiscrete:dxyxxfyYXEYX),(||Continuous:xyYxXxPyYXE||2020/5/1331Note:yYXEy|ofy.WewritethisasYXE|isafunctioni.e.yYXEyYXE||(ConditionalExpectationFunction)2020/5/1332Theorem:YXEEXE|Clearly,whenYisdiscrete,yyYPyYXE|WhenYiscontinuous,dyyfyYXEY|2020/5/1333Proof:ContinuousCaseRecall,ifX,Yarejointlycontinuouswithjointpdfyxf,Define:yfyxfYXfYYX,||dxYXxfyYXEYX|||and2020/5/1334Note:dyyfdxyxxfdyyfyYXEYYXY|||dxdyyfyxxfYYX||dxdyyfyfyxfxYY,2020/5/1335ContinuousCaseCont.dxdyyxxf,dydxyxxf,(Fubini’sTheorem)dydxyxfx,dyyxf,2020/5/1336So,XEdxxxfXTherefore,concludingYXEEXE|2020/5/1337Summary:WhenYisdiscrete,yyYPyYXE|WhenYiscontinuous,dyyfyYXEY|ConditionalVariance2020/5/1339DefinitionYYXEXEYXVar||)|(222||YXEYXEYXEVarYXVarEXVar||2020/5/1340ProofYXEEXE|using22222222|||||||||YXEEXEYXEEYXEEYXEYXEEYXVarEYXEYXEYXVarsidesbothofnsexpectatiotakingsince2020/5/1341Noteaswell…22|||YXEEYXEEYXEVar22|XEYXEE2020/5/1342…addingYXEVarYXVarEXVarXVarXEXEYXEVarYXVarE||||22thatshownvewe'Thusg2020/5/1343随机分析黎曼积分勒贝格积分Ito积分Stratonovich积分2020/5/1344微积分号称三百多年来最伟大的数学，俨然成了无敌于天下的数学老大，然而当狄里克雷(Dirichlet)大侠将他的魔鬼狄里克雷函数从瓶子里放出来时，微积分却对之无可奈何。狄利克雷函数（英语：dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域为0,1的不连续函数。当自变量x为有理数时，f(x)=1；自变量x为无理数时，f(x)=0。狄利克雷函数的图像关于Y轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。2020/5/1345性质定义在整个数轴上。无法画出图像。以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。处处无极限、不连续、不可导。在任何区间上不黎曼可积。是偶函数。它在[0,1]上勒贝格可积作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数），同时这个函数在积分上也有应用，该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。2020/5/1346让经典微积分感到恐惧的不仅仅是这样极端病态的函数，在人们施展微积分这门武功去对付各种自然科学中的问题时也会显得心有余而力不足。例如，当我们试图将积分与极限交换顺序时，极限号始终无法穿越那拉长了脸令人望而生畏的S.事实上，一个黎2020/5/13472020/5/13482yx先研究一个特殊情形：求与直线所围的平面图形的面积S2yx0,1,0xxy2020/5/1349(1)分割将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形分割梯形分割x轴分割定义域“等分”“等分”12yxxyO0.10.20.40.60.810等分等分n2020/5/1350即把定义域[0，1]等分成n个小区间：112i1in1n[0,],[,][,][,].nnnnnnnii11xnnn每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：1niiSS1S2SnS...∴曲边梯形面积(1,2,i...,n)2020/5/1351i-1n)(yxfini-1()nf（2）近似代替第i个曲边梯形'2ii1i11S=f()x()nnniS当时，我们可以把小曲边梯形近似看成什么图形？又如何计算每个近似图形的面积？这样给我们研究问题带来了哪些帮助？请同学们相互讨论。0x'iS（用矩形代替曲边梯形）(1,2,i...,n)2020/5/1352（3）求和n12nii1nn2i1i1222233SSSSSi-11i-11f()()nnnn1[012(n1)]n1(1)(21)111(1)(1)n632nnnnn(1,2,i...,n)2020/5/1353（4）取极限分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，当即时，从而有,n0x111(1)(1),32nSSnn1111111limlim()lim(1)(1)323nnnnniiSSfnnnn2020/5/1354区间[0，1]的等分数nS的近似值20.1250000040.2187500