平面向量高考复习(4)最新版

考纲要求考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.从近几年的高考试题看，以向量的共线和数量积为工具解决三角函数、解析几何等知识是考查的重点和热点．借助平面几何图形考查平面向量基本定理、向量的平行、垂直与夹角、长度等问题是考查的难点．2.从题型上看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题主要考查向量的基础知识，与其他数学知识结合的题目主要以解答题的形式出现，难度中等偏上.一、向量在平面几何中的应用1．证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．2．证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量共线的条件，a∥b(b≠0)⇔a＝λ·b⇔_______________.3．证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔.x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝04．求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝.5．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22二、向量在三角函数中的应用1．以向量为载体研究三角函数中的最值、单调性、周期等三角函数性质问题．2．通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系．三、向量在解析几何中的应用1．以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题．2．以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题．四、向量在物理学中的应用由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的______相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中的数量积的一种体现．加法1．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则向量a＋b表示()A．向东南航行2kmB．向东南航行2kmC．向东北航行2kmD．向东北航行2km解析：由向量加法的几何意义知选A.答案：A2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．无法确定解析：由(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，得[(DB→－DA→)＋(DC→－DA→)]·(AB→－AC→)＝0，所以(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，所以|AB→|2－|AC→|2＝0，∴|AB→|＝|AC→|，故△ABC是等腰三角形．答案：C3．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为()A.5π6B．2π3C.π3D．π6解析：由m⊥n得m·n＝b(b－c)＋(c－a)(c＋a)＝0，整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.又A为三角形的内角，∴A＝π3.答案：C4．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的四条边满足：AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析：设D(x，y)，由条件知AB→＝DC→，又AB→＝(8,8)，DC→＝(8－x,6－y)，所以8－x＝8，6－y＝8，得x＝0.y＝－2.故点D的坐标为(0，－2)．答案：(0，－2)5．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________________．解析：由题意得AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即2，－y2·x，y2＝0.化简得y2＝8x.又由题意知x≠0，故所求轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．答案：y2＝8x(x≠0)【考向探寻】1．利用平面向量解决长度、夹角、垂直、共线等问题．2．平面向量与解三角形的综合应用．向量在平面几何中的应用【典例剖析】(1)平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，则△OAB的面积等于A.|a|2|b|2－a·b2B．|a|2|b|2＋a·b2C.12|a|2|b|2－a·b2D．12|a|2|b|2＋a·b2(2)(2013·晋城模拟)若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.题号分析(1)利用数量积公式求出夹角的余弦，进而得正弦，再利用公式S＝12absinθ求解．(2)建立坐标系，确定点的坐标，转化为坐标运算.解析：(1)设OA→、OB→的夹角为α，则cosα＝a·b|a||b|，∴sinα＝1－a·b|a||b|2＝|a|2|b|2－a·b2|a||b|，∴S△OAB＝12|a||b|sinα＝12|a|2|b|2－a·b2.答案：C(2)建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A(0,3)，B(－3，0)，M(0,2)，∴MA→＝(0,1)，MB→＝(－3，－2)．∴MA→·MB→＝－2.答案：－2平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用cosθ＝a·b|a|·|b|(θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．建立适当的坐标系可使运算简单，为几何问题的解决带来方便．【活学活用】1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．解：(1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42，故所求两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.【考向探寻】1．利用平面向量数量积的运算将所求问题转化为三角函数问题．2．平面向量与三角函数的运用．平面向量在三角函数中的应用【典例剖析】(1)(理)(2013·揭阳模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(cosθ，sinθ)，其中m，n，θ∈R.若|a|＝4|b|，则当a·bλ2恒成立时实数λ的取值范围是A．λ2或λ－2B．λ2或λ－2C．－2λ2D．－2λ2(1)(文)(2012·陕西高考)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1，2cosθ)垂直，则cos2θ等于A.22B．12C．0D．－1(2)(12分)已知向量a＝sinx，34，b＝(cosx，－1)．①当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；②设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，sinB＝63，求f(x)＋4cos2A＋π6x∈0，π3的取值范围．(1)(理)先求a·b，转化为三角函数求最值问题，最后解不等式即可．(1)(文)利用a·b＝0得到cos2θ的值，再利用cos2θ＝2cos2θ－1求解．(2)①由a∥b得到tanx，将cos2x－sin2x化为只含有tanx的式子求值；②先求出f(x)，利用正弦定理求得A，最后求取值范围．(1)(理)由已知得|b|＝1，所以|a|＝m2＋n2＝4，因此a·b＝mcosθ＋nsinθ＝m2＋n2sin(θ＋φ)＝4sin(θ＋φ)≤4，由于a·bλ2恒成立，故λ24，解得λ2或λ－2.答案：B(1)(文)已知a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0，故选C.答案：C(2)①∵a∥b，∴34cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－34，…………………………………………2分．cos2x－sin2x＝cos2x－2sinxcosxsin2x＋cos2x＝1－2tanx1＋tan2x＝85.……4分②f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin2x＋π4＋32.……………………6分由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sinA＝263，所以sinA＝22，所以A＝π4，……………………………………………………8分∴f(x)＋4cos2A＋π6＝2sin2x＋π4－12，…………10分∵x∈0，π3，∴2x＋π4∈π4，11π12，所以32－1≤f(x)＋4cos2A＋π6≤2－12故所求取值范围为32－1，2－12.…………………12分平面向量与三角函数的结合是高考的常见题型，解答时要先根据向量的运算将向量问题转化为三角函数问题，再应用三角函数的相关知识来解答．【活学活用】2．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．解：(1)方法一：∵b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，∴向量b＋c的长度的最大值为2.方法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2，∴向量b＋c的长度的最大值为2.(2)由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.由α＝π4，得cosπ4－β＝cosπ4，即β－π4＝2kπ±π4(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π2或β＝2kπ，k∈Z.于是cosβ＝0或cosβ＝1.【考向探寻】1．利用向量的平行和垂直解决直线的平行和垂直问题．2．平面向量在圆锥曲线中的综合运用．平面向量在解析几何中的应用【典例剖析】(1)(2013·沈阳模拟)设F1，F2是双曲线x23－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1→·PF2→的值为A．2B．3C．4D．6(2)在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是__________．(1)设出点P到两焦点的距离m，n，由双曲线定义、面积及余弦定理得到tanP2的值，再根据数量积的定义求解．(2)求出向量坐标，根据数量积直接求解即可．解析：(1)如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由已知条件可得|m－n|＝23，12mnsinP＝2，又m2＋n2－2mncosP＝(m－n)2＋2mn(1－cosP)＝4a2＋2mn(1－cosP)＝4c2，得mn(1－cosP)＝2b2＝2，则4sinP(1－cosP)＝2，化简得tanP2＝12，∴PF1→·PF2→＝mncosP＝4cosPsinP＝4tanP＝41－tan2P22tanP2＝3，故应选B.答案：B(2)由条件知OP→＝(x，y)，OA→＝(1,2)，∴OP→·OA→＝x＋2y＝4.故所求轨迹方程为x＋2y＝4.答案：x＋2y＝4.向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带．而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的