三角函数的图像和性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，，3π2，0，(2π，1)．第三节三角函数的图象与性质(π，－1)3π2，－1函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)．函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性______________奇函数单调性2kπ－π2，2kπ＋π2为增；2kπ＋π2，2kπ＋3π2为减[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增kπ－π2，kπ＋π2为增对称中心________kπ＋π2，0kπ2，0对称轴___________奇函数偶函数(kπ，0)x＝kπ＋π2x＝kπ1．函数y＝2－cosx3(x∈R)的最小正周期为________．答案：6π[小题体验]2．(教材习题改编)函数y＝－tanx＋π6＋2的定义域为________________．答案：xx≠kπ＋π3，k∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．1．函数y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数[小题纠偏]答案：D2．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π4上的最小值为－22．答案：－22考点一三角函数的定义域[题组练透]1．(易错题)函数y＝1tanx－1的定义域为______________．解析：要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z．答案：xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z2．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为______________．解析：由sin2x0，9－x2≥0，得kπxkπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x－π2或0xπ2．∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2．答案：－3，－π2∪0，π2[谨记通法](1)应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．考点二三角函数的值域或最值[典例引领]1．函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析：∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴sinπ6x－π3∈－32，1．∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3．答案：A2．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为________________．解析：设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝1－t22，且－1≤t≤2．∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1．∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1][由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数．[即时应用]求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．解：令t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－22，22．∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，∴当t＝12时，ymax＝54，当t＝－22时，ymin＝1－22．∴函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22．三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．考点三三角函数的性质[锁定考向][题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2016·山东高考)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是()A．π2B．πC．3π2D．2π解析：∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝3sinxcosx＋3cos2x－3sin2x－sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，∴T＝2π2＝π．故选B．答案：B角度二：三角函数的对称性2．已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象()A．关于直线x＝π4对称B．关于直线x＝π8对称C．关于点π4，0对称D．关于点π8，0对称解析：∵f(x)＝sinωx＋π4的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin2x＋π4．当x＝π4时，2x＋π4＝3π4，∴A、C错误；当x＝π8时，2x＋π4＝π2，∴B正确，D错误．答案：B3．若函数f(x)＝sin12x＋θ－3cos12x＋θ|θ|π2的图象关于原点对称，则角θ＝()A．－π6B．π6C．－π3D．π3解析：∵f(x)＝2sin12x＋θ－π3，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sinθ－π3＝0，即sinθ－π3＝0，∴θ－π3＝kπ(k∈Z)，即θ＝π3＋kπ(k∈Z)．又|θ|π2，∴θ＝π3．答案：D角度三：三角函数的单调性4．已知f(x)＝2sinx＋π4，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z．又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为0，π4．答案：0，π45．若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：∵f(x)＝sinωx(ω0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32．答案：32[通法在握]1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0．(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．最小正周期为π且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sin2x＋π3B．y＝2sin2x－π6C．y＝2sinx2＋π3D．y＝2sin2x－π3解析：由函数的最小正周期为π，排除C；由函数图象关于直线x＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sin2×π3－π6＝sinπ2＝1，所以选B．答案：B2．函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为____________．解析：由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．答案：kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)3．函数y＝|tanx|在－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y＝|tanx|在－π2，3π2上的单调减区间为－π2，0和π2，π．答案：－π2，0和π2，π