【2019年整理】数列-第一轮复习

第一轮复习数列【考向指引】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，故而在高考中占有重要地位。从近几年的高考试题来看，数列部分的复习备课应注意以下几点：1、数列中nS与na的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，应切实注意nS与na的关系。2、探索性问题在数列中考察较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给予证明。探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。3、等差、等比数列的基本知识为必考内容，这类考题有容易题、中等题，也有难题。4、求和问题也是常见的试题类型，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和。5、将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点。6、有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点，今后在这方面还会体会的更突出。7、数列与新增内容（如程序框图）等综合体也应引起高度重视。第一讲数列的概念一、考点解读1、数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项一次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，．．．，第n项，……数列的一般形式可简记为na，其中na是数列的第n项。注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成的两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。2、数列的分类（1）根据数列的项数分有穷数列：项数有限的数列。无穷数列：项数无限的数列。（2）按照数列的每一项的值随项数变化的情况分递增数列，递减数列，常数列，摆动数列3、数列与函数的关系数列可以看成以自然数集或者其有限子集为定义域的函数)(nfan，当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值。4、数列的通项公式如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式。（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项。5、数列的三种表示形式列举法，通项公式法和图象法二、典例根据有限项抽象数列的通项公式1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）3，5，9，17，……；（2）......638,356,154,32，，，，；（3）0,1,0,1，……；（4）2，-6,12，-20,30，…….由数列na的前n项和给出的递推式变形2、数列na的前n项和为nS，且NnSnn,23，求数列na的通项公式。用累加、累乘法探求数列na的通项公式3、已知数列na满足：)2(,2,1111naaannn。（1）求数列na的通项公式；（2）这个数列从第几项开始及其后面各项均小于10001？已知递推关系求指定项4、已知数列na满足：)(1Nmma，1na为奇数）为偶数）nnnnaaaa(13(2，若16a，则m所有可能的取值为。三、练习1、数列,......167,85,43,21的一个通项公式是。2、*已知数列na中，11a，nnnaaa211，则5a等于。3、若数列na前n项和)1(log3nSn，则5a等于。4、若nS是数列na前n项和，2nSn，则765aaa=。5、已知数列na中，)2(,,111nnaaann，则此数列的通项公式为na=。6、数列na满足)2()1(.......2,11211naanaaann，求数列na的通项公式。第二讲等差数列一、考点解读1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即),2(,1Nnndaann，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。2、等差数列的通项公式：dnaan)1(1通项公式的变形形式：dmnaamn)(或qpnan（其中qp,是常数）3、计算公差的几种基本方法：①1nnaad②11naadn③mnaadmn4、等差中项：若bAa,,等等差数列，那么A叫做ba,的等差中项。5、基本性质：在等差数列中，若qpnm，则),,,(,Nqpnmaaaaqpnm6、等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS。公式2：2)1(1dnnnaSn公式3：ndandSn)2(212，当公差0d时，是一个常数项为零的二次式。二、典例等差数列求解的基本方法：还原基本量1、等差数列na中，（1）已知33,4,31521naaaa，求n；（2）已知3,993aa，求12a的值。等差数列性质的运用2、已知函数xxf2)(，等差数列na的公差为2，若4)(108642aaaaaf，则)]().......()([log10212afafaf。*等差数列概念的运用3、递增数列1，5，7，11，13，17，……包含所有既不能被2整除又不能被3整除的正整数，求此数列的第100项。等差数列应用问题4、在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成，如图所示，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块石板，共有9圈。问：（1）第9圈共有多少块石板？（2）不包括天心石，9圈共有多少块石板？等差数列前n项和运用5、设等差数列na的前n项和nS，若355aa，则59SS=。等差数列的概念的运用6、在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和。等差数列前n项和的最值问题7、已知数列na是一个等差数列，且5,152aa。（1）求na的通项na；（2）求na前n项和nS的最大值。等差数列综合问题8、设1a，d为实数，首项为1a，公差为d的等差数列na的前n项和nS，满足01565SS。（1）若55S，求16aS及；（2）求d的取值范围。三、练习1、已知数列na前n项和1232nnSn，则此数列（）A、是等差数列，56nanB、是等比数列，56nnaC、非等差数列，na)2(561(0nnn）D、非等比数列，na)2(61(05nnn）2、数列na是等差数列，24)(),1(,0),1(2321xxxfxfaaxfa其中，则此数列的通项公式为（）A、42nanB、42nanC、42nan或42nanD、nan2或nan23、在等差数列na中，若21512841aaaaa，则8a等于（）A、-6B、4C、-2D、04、设yx，且两数列yaaax,,,,321和4321,,,,,bybbxb均为等差数列，那么1234aabb的值是（）A、38B、34C、32D、835、成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，则这四个数是。6、在等差数列na中，1201210864aaaaa，则1092aa=。7、等差数列na中，12531aaa，80531aaa，求此数列的通项。8、一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为（）A、14B、16C、18D、209、等差数列na的前n项和为nS，且55635SS，则4a=。10、在等差数列na中，3,154da，则此数列前n项和为nS的最小值为。11、一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d。第三讲等比数列一、考点解读1、等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，即：)0(1qqaann。2、等比数列的通项公式：)0(),0(1111qaqaaqaqaamnmnnn。3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。4、等比中项：G为a与b的等比中项。即)0(2ababG。5、等比数列的性质：若qpnm，则),,,(,Nqpnmaaaaqpnm。6、等比数列的递增性：当0,100,111aqaq或时，na是递增数列；当0,100,111aqaq或时，na是递减数列。7、等比数列的前n项和公式：当1q时，qqaSnn1)1(1或qqaaSnn11当1q时，1naSn二、典例等比数列基本公式的运用1、已知等比数列na前三项的和为3，如果将第三项减去9则这三项又分别是一个等差数列的第一项、第四项和第七项，求数列na的通项公式。构造辅助数列解题2、数列na的各项均为正值，11a，对任意的Nn，)1(4121nnnaaa都成立，求数列na的通项公式。等差数列与等比数列的关系3、已知数列na是等差数列，nanb)21(，已知.81,821321321bbbbbb（1）求证数列nb是等比数列；（2）求数列na的通项公式。等比数列综合问题4、已知21a，点（1,nnaa）在函数xxxf2)(2的图象上，其中,......3,2,1n（1）证明数列)1lg(na是等比数列；（2）设)1)......(1)(1(21nnaaaT，求nT及数列na的通项。等比数列基本运算5、在等比数列na中（1）已知96,361aa，求q和6S的值；（2）已知11,215Sq，求1a和5a的值。等比数列性质的运用6、已知等比数列na中（1）126,128,66121nnnSaaaa，求项数n和公比q。（2）32,82010SS，求40S的值。等比数列应用问题7、已知某市2008年底人口数为100万，人均住房面积40平方米，如果该市每年人口增长率为2%，每年平均新建住房面积20万平方米，试求导2012年底人均住房面积。（精确到1平方米，参考数据：10.102.1,08.102.1,06.102.1543）等比综合问题8、已知数列na为等差数列，公差0d，其中knkkaaa,...,,21恰为等比数列，若17,5,1321kkk，求nkkk...21的值。三、练习1、等比数列na中，nT表示前n项的积，若15T，则（）A、11aB、13aC、14aD、15a2、已知数列na满足)(31Nnaann，则下列结论正确的是（）A、数列na是等差数列B、数列na是等比数列C、数列na可能是常数列D、数列na不可能是常数列3、等差数列na中，11311,,,02aaada且，成等比，那么该等比数列公比的值为。4、已知等比数列na满足2,064aaan且，则923212log...loglogaaa等于。5、设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若21,,nnnSSS成等差数列，则q的值是。6、等差数列na公差不为0，且1385,,aaa是等比数列nb的相邻三项，若152b，求数列nb的通项公式。7、一个等比数列前n项的和为48nS，前2n项之和602nS，则nS3等于。8、已知等比数列na的前n项和12nnS，则22221...naaa等于。9、在等比数列na中，6117aa，5144aa，则1020aa等于。10、各项都是正数的等比数列na的公比1q，且132,21,aaa成等差数列，则5443aaaa的值为？11