【赢在课堂】2016高考数学 1.1归纳与类比课件 北师大版选修2-2

第一章推理与证明§1.1归纳与类比学习目标思维脉络1.理解归纳推理和类比推理的概念与意义.2.能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理.3.能结合具体实例体会并认识归纳推理和类比推理在数学发现中的重要作用.4.能够利用归纳推理和类比推理解决相关的数学问题.121.归纳推理(1)根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.(2)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.但是,利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.特别提醒归纳推理的特点:(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此,归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的;(3)人们在进行归纳推理的时候,先搜集一定的事实材料,有个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此,归纳推理要在观察和实验的基础上进行;(4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是科学发现的重要手段.12做一做1观察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.解析:观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘2n,则第n个等式为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)122.类比推理(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.但是,利用类比推理得出的结论不一定是正确的.(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.特别提醒类比推理有以下几个特点:(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中,推测正在研究中的事物的属性,它以旧的认识作基础,类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能.12做一做2过圆心为O的圆外一点P作它的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,则∠POA=∠POB.类比圆的这个性质,可写出椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)类似的性质为.解析:圆心类比椭圆焦点,圆外一点类比椭圆外一点,圆的切线类比椭圆的切线,∠POA=∠POB类比∠PFA=∠PFB,于是可得类比结论为:过椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)外一点P作椭圆的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,若F为椭圆的一个焦点,则∠PFA=∠PFB.答案:过椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)外一点P作椭圆的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,若F为椭圆的一个焦点,则∠PFA=∠PFB探究一探究二探究三探究一归纳推理归纳推理是获得数学结论的一条重要的途径,运用不完全归纳法,通过观察、实验,从特例中归纳出一般结论,形成猜想.无论是数还是图形,应认真观察、分析,并根据题目的特点不断地调整自己的分析角度,以便发现其中蕴涵的一般规律.探究一探究二探究三典例提升1有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律,拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A.26B.31C.32D.36探究一探究二探究三解析:方法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以,第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.方法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹正六边形围绕(第一个图案)外,每增加一块无纹正六边形,就增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6+5×(6-1)=31.答案:B点评归纳推理是立足于观察、经验或实验的基础上的,认真全面地分析已知条件是得出正确结论的关键.探究一探究二探究三􀎥变式训练1􀎥观察下列等式:1=1,13=1,1+2=3,13+23=9,1+2+3=6,13+23+33=36,1+2+3+4=10,13+23+33+43=100,1+2+3+4+5=15,13+23+33+43+53=225.可以推测:13+23+33+…+n3=(n∈N+,用含有n的代数式表示).探究一探究二探究三解析:第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,∵第一列的右端分别是1,3,6,10,15,…,第n项an与第n-1项an-1(n≥2)的差为an-an-1=n,∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,……,an-an-1=n,各式相加得,an=a1+2+3+…+n,其中a1=1,∴an=1+2+3+…+n,即an=𝑛(𝑛+1)2,∴𝑎𝑛2=14n2(n+1)2.答案:14n2(n+1)2探究一探究二探究三探究二类比推理1.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).2.类比推理得到的结论不一定正确,所以我们要进行验证或证明.典例提升2已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边于A',B',C',则𝑂𝐴'𝐴𝐴'+𝑂𝐵'𝐵𝐵'+𝑂𝐶'𝐶𝐶'=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.𝑂𝐴'𝐴𝐴'+𝑂𝐵'𝐵𝐵'+𝑂𝐶'𝐶𝐶'=𝑆△𝑂𝐵𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝑂𝐶𝐴𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝑂𝐴𝐵𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶=1.请运用类比思想,对于空间中的四面体A-BCD,存在什么类似的结论?并证明.探究一探究二探究三解:在四面体A-BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H点.则𝑂𝐸𝐴𝐸+𝑂𝐹𝐷𝐹+𝑂𝐺𝐵𝐺+𝑂𝐻𝐶𝐻=1.在四面体O-BCD与A-BCD中,𝑂𝐸𝐴𝐸=ℎ𝑂-𝐵𝐶𝐷ℎ𝐴-𝐵𝐶𝐷=13𝑆△𝐵𝐶𝐷·ℎ𝑂-𝐵𝐶𝐷13𝑆△𝐵𝐶𝐷·ℎ𝐴-𝐵𝐶𝐷=𝑉𝑂-𝐵𝐶𝐷𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷.同理,𝑂𝐹𝐷𝐹=𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐶𝑉𝐷-𝐴𝐵𝐶,𝑂𝐺𝐵𝐺=𝑉𝑂-𝐴𝐶𝐷𝑉𝐵-𝐴𝐶𝐷,𝑂𝐻𝐶𝐻=𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐷𝑉𝐶-𝐴𝐵𝐷,∴𝑂𝐸𝐴𝐸+𝑂𝐹𝐷𝐹+𝑂𝐺𝐵𝐺+𝑂𝐻𝐶𝐻=𝑉𝑂-𝐵𝐶𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐶+𝑉𝑂-𝐴𝐶𝐷+𝑉𝑂-𝐴𝐵𝐷𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷=𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷𝑉𝐴-𝐵𝐶𝐷=1.探究一探究二探究三点评1.本题主要考查类比推理的方法,解题的关键是把平面几何的元素类比到空间中去,证明时一般考虑面积对应体积.2.平面中常见的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下:平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…􀎥变式训练2􀎥在等差数列{an}中,若am=p,an=q(m,n∈N+,n-m≥1),则am+n=𝑛𝑞-𝑚𝑝𝑛-𝑚.类比上述结论,对于等比数列{bn}(bn0,n∈N+),若bm=r,bn=s(n-m≥2,m,n∈N+),则可以得到bm+n=.解析:设公比为q,sn=𝑏1𝑛qn(n-1),rm=𝑏1𝑚qm(m-1),𝑠𝑛𝑟𝑚=𝑏1𝑛-𝑚q(n-m)(n+m-1),bm+n=snrmn-m=b1qn+m-1.答案:bm+n=𝑠𝑛𝑟𝑚𝑛-𝑚探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:在进行类比推理时,由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误,解决这类问题的关键是:先充分认识两类事物的相同(或相似)之处,充分考虑其中的本质联系,再进行类比.典例提升3请用类比推理完成下表:平面空间三角形的面积等于任意一边的长度与这条边上高的乘积的12三棱锥的体积等于任一底面的面积与这个底面上的高的乘积的13三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积的12探究一探究二探究三错解一:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13.错解二:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.错因分析:错解一中“三角形周长”的类比错误,错解二中“12”的类比错误.“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”;“12”应类比为“13”.正解:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.123451.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则点P的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析:A选项为椭圆的定义;B选项中,由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式,属于归纳推理;C选项中,由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的面积S=πab,是类比推理;D选项中,科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇也是类比推理,故选B.答案:B123452.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33为()A.3B.-3C.6D.-6解析:由题意可得,a1=3,a2=6,a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,a8=6,归纳出每6项一个循环,则a33=a3=3.答案:A123453.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式:S=12×底×高,可推知扇形面积公式S扇=()A.𝑟22B.𝑙22C.12lrD.不可类比解析:由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高,可得S=12lr.答案:C123454.已知f(n)=1+12+13+…+1𝑛(n∈N+),经计算f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,猜测:.解析:f(2)=f(21)=1+22=32,f(4)=f(22)2=2+22,f(8)=f(23)52=3+22,f(16)=f(24)3=4+22,f(32)=f(25)72=5+22,故f(2t)≥𝑡+22(t∈N+).答案:f(2t)≥𝑡+22(t∈N+)123455.对于命题:若O是线段AB上一点,则|𝑂𝐵|·𝑂𝐴+|𝑂𝐴|·𝑂𝐵=0.将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,则S△OBC·𝑂𝐴+S△OCA·𝑂𝐵+S△OBA·𝑂𝐶=0.将它类比到空间的情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则.解析:根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,由线段类比到平面,平面类比到空间,由线段长类比为三角形面积,三角形面积再类比为四面体的体积,故可以类比为VO-BCD·𝑂𝐴+VO-ACD·𝑂𝐵+VO-ABD·𝑂𝐶+VO-ABC·𝑂𝐷=0.答案:VO-BCD·𝑂𝐴+VO-ACD·𝑂𝐵+VO-ABD·𝑂𝐶+VO-ABC·𝑂𝐷=0