柱锥台球的表面积和体积公式(有答案)

A级课时对点练一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为()A.2281πB.881πC.4581πD.1081π解析：设圆锥的底面半径为r，则2πr1＝43π，∴r＝23，∴圆锥的高h＝1－232＝53.∴圆锥的体积V＝13πr2h＝4581π.答案：C2．如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为()A．6B．123C．24D．3解析：注意到此题的几何体是底面边长为2的正三角形，于是侧面积为S＝6×4＝24.答案：C3．下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点)()A．6＋3＋πB．18＋3＋4πC．18＋23＋πD．32＋π解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球，其中正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，故其表面积S＝4π×122＋2×34×22＋3×2×3＝18＋23＋π.答案：C4．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示．则该多面体的体积()A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱，如图．其中侧面矩形ABCD中，AD＝6(cm)，AB＝4(cm)，底面等腰三角形ADF的底边AD上的高为4(cm)，则其体积V＝12×4×4×6＝48(cm3)．答案：A5．已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A．24－32πB．24－π3C．24－πD．24－π2解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.答案：A二、填空题：6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．解析：由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以侧面积S＝π.答案：π7．若球O1、O2表面积之比S1S2＝4，则它们的半径之比R1R2＝________.解析：∵S1＝4πR21，S2＝4πR22，∴S1S2＝R21R22＝4，∴R1R2＝2.答案：28．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为________．解析：由三视图知该几何体是一个半圆柱，因此V＝12×π×12×2＝π.答案：π三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如右图所示．(1)几何体的体积为：V＝13·S矩形·h＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝42＋42＝42.故几何体的侧面面积为：S＝2·12×8×5＋12×6×42＝40＋242.10．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解：(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝13×402×60＋402×20＝64000(cm3)．B级素能提升练(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2答案：B2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关解析：从题图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的14，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．答案：D二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶84．已知一几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长为________，高为________时，棱柱的体积最大，这个最大值是________．解析：根据条件可知这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，设内接于这个几何体的小正四棱柱底面边长为x，则高为6－x，从而由V＝x2(6－x)知，当x＝4时，即底面边长为4，高为2时，棱柱的体积最大，最大体积为32.答案：4232三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5．直三棱柱高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm,4cm，5cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．∵在△ABC中，AB＝3(cm)，BC＝4(cm)，AC＝5(cm)，∴△ABC为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，∴R＝1(cm)．∴V圆柱＝πR2·h＝6π(cm)．而三棱柱的体积为V三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm3)．∴削去部分体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)．即削去部分体积的最小值为6(6－π)cm3.6．如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形．设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE＝34S，V水＝34S·AA1＝6S.当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh，∴6S＝Sh，∴h＝6.故当底面ABC水平放置时，液面高为6.