考点30等比数列及其前n项和2020年领军高考数学理一轮必刷题教师版备战2020年高考理科数学必刷题

1考点30等比数列及其前n项和1、设数列{an}满足2an＝an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则S4a2的值为()A.152B．154C．4D．2【答案】A【解析】由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故S4a2＝a1－241－2a1×2＝152.故选A.2、设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B．314C.334D．172【答案】B【解析】设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12或a1＝9，q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋16，则a的值为()A．－13B．13C．－12D．12【答案】A【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋16，所以a＋16＝a2，所以a＝－13.4、在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为()A.2B．3C．2D．3【答案】D【解析】由a9＝a2a3a4得a1q8＝a31q6，所以q2＝a21.因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.25、已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则b2a1＋a2的值为()A.710B．75C.310D．12【答案】C【解析】因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b22＝1×9＝9，因为b21＝b2＞0，所以b2＝3，所以b2a1＋a2＝310.6、在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则a15a5＝()A．3B．－13C．3或13D．－3或－13【答案】C【解析】根据等比数列的性质得a3q52＝3，a3＋q10＝4，化简得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或13，所以a15a5＝a5q10a5＝q10＝3或13.7、古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为()A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】设该女子第一天织布x尺，则x1－251－2＝5，得x＝531，∴前n天所织布的尺数为531(2n－1)．由531(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.8、已知各项均是正数的等比数列{an}中，a2，12a3，a1成等差数列，则a4＋a5a3＋a4的值为()A.5－12B．5＋12C．－5－12D．5－12或5＋12【答案】B3【解析】设{an}的公比为q(q＞0)．由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝1＋52.从而a4＋a5a3＋a4＝q＝1＋52.9、已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D．15【答案】A【解析】因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an.所以数列{an}是公比q＝3的等比数列，所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9.所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35.所以log1335＝－log335＝－5.10、在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有anan－1＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.11、在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则1a1＋1a2＋…＋1a8的值为()A．2B．4C．8D．16【答案】A【解析】由分数的性质得到1a1＋1a2＋…＋1a8＝a8＋a1a8a1＋a7＋a2a7a2＋…＋a4＋a5a4a5.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝a1＋a2＋…＋a8a4a5＝4a4a5，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴1a1＋1a2＋…＋1a8＝2.12、已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn.若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝()A．512B．256C．81D．16【答案】A【解析】由题意知，a3a4a7q＝a3a7a4q＝a3a7a5＝a35＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)·(a3a7)(a4a6)a5＝a95，所以Ⅱ9＝83＝512.413、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是()A．[12,16]B．8，323C.8，323D．163，323【答案】C【解析】因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，所以q3＝a5a2＝18，q＝12，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝a1a21－q2n1－q2＝323(1－q2n)∈8，323，故选C.14、设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝a2a1＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件，故选C.15、已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为()A．126B．130C．132D．134【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋nn－2×(－2)＝－n2＋23n＝－n－2322＋5294.又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.16、设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝()A．15B．60C．63D．72【答案】B【解析】由数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，得数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)1＝n＋2.由数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，得数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn－1＝2n－1，所以ban＝2n＋51，所以ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝22＋23＋24＋25＝－241－2＝60.17、已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝an＋1an，若b10·b11＝2，则a21＝________.【答案】1024【解析】∵b1＝a2a1＝a2，b2＝a3a2，∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝a4a3，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.18、已知{an}为等比数列，且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.若an＝12，则n＝________.【答案】9【解析】设{an}的公比为q，由a3＋a6＝36，a4＋a7＝(a3＋a6)q＝18，解得q＝12，由a1(q2＋q5)＝36得a1＝128，进而an＝128·12n－1＝12n－8.由an＝12，解得n＝9.19、设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________．【答案】64【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝12.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.故a1a2·…·an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝23n·12n－n2＝23n－n22＋n2＝2－n22＋72n.记t＝－n22＋7n2＝－12(n2－7n)＝－12n－722＋498，结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数，从而a1a2·…·an的最大值为26＝64.20、设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.【答案】15【解析】由题意得an＝(－2)n－1，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|＝15.21、已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________.【答案】72m＋1－7486【解析】设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5＝105，a10＝2a5，得5a1＋－2d＝105，a1＋9d＝a1＋4d，解得a1＝7，d＝7，因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．对任意的m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1，所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝－49m1－49＝7×2m－48＝72m＋1－748.22、已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则2Sn＋n＋32an＋1的最小值为________．【答案】203【解析】由于a2，a5－1，a10成等比数列，所以(a5－1)2＝a2·a10，(a1＋4d－1)2＝(a1＋d)·(a1＋9d)，又a1＝5，所以d＝3，所以an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，Sn＝na1＋nn－2d＝5n＋32n(n－1)，所以2Sn＋n＋32an＋1＝3n2＋8n＋323n＋3＝13[3(n＋1)＋27n＋1＋2]≥203，当且仅当3(n＋1)＝27n＋1，即n＝2时等号成立．23、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.【答案】(1)an＝1，n＝1，2n－2，n≥2.(2)22n＋1＋13【解析】(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝1，n＝1，2n－2，n≥2.(2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝－4n1－4＝n－3.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋n－3＝22n＋1＋13.24、已知数列{an}满足a1＝8999，an＋1＝10an＋1.7(1)证明：数列a