条件期望的性质与应用

条件期望的性质和应用摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。关键词：条件期望；定义；性质；应用条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。1条件期望的几种定义1.1条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。定义1离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为,ijjipPXxYy，1,2,,1,2,.ij，对一切使10jjijiPYypp的jy，称|,(),1,2,jijiijijjjPXxYyppPXxYyipPYy为给定jYy条件下X的条件分布列。1此时条件分布函数为)iijijijxxxxFxyPXxYyp；同理，对一切使10iiijjPXxpp的ix，称j|i,,1,2,jijijiijPXxYyppPYyXxjpPXx为给定iXx条件下Y的条件分布列。此时条件分布函数为jjijijiyyyyFyxPYyXxp。故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下)iiiEXYyxPXxYy或jjjEYXxyPYyXx。定义2连续随机变量的条件期望设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度函数为(,)pxy，边际密度函数为()Xpx和()Ypy。对一切使()Ypy0的y，给定Yy条件下X的条件分布函数和条件密度函数分别为(,)()()xYpuyFxydupy，,Ypxypxypy；同理对一切使Xpx0的x，给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件密度函数分别为(,)()()yXpxvFyxdvpx，,Xpxypyxpx。故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下()EXYyxpxydx或()EYXxypyxdy。1.2测度论角度出发的条件期望定义借助测度论这一数学工具，给出了随机变量在给定子代数下条件期望的一般性定义——公理化定义，通过讨论，还可同时发现它的两条等价性定义。引理1若X是可积(或积分存在)随机变量，则必存在惟一的(不计几乎处处相等的差别)可积(相应地，积分存在)的G可测随机变量Y，它满足,AAYdPXdPAG(1)定义3(公理化定义)设X是概率空间(,,)FP上的可积(或积分存在)随机变量，G是F的子代数，则X关于G的条件期望()EXG是满足以下两条件的随机变量：2(i)()EXG是G可测的；(ii)(),AAEXGdPXdPAG。特别地，当()GY时，也称()EXG为X关于随机变量Y的条件期望，记为()EXY。由引理1，条件期望()EXG=dvdP就是由(1)式定义的符号测度v关于P的Radon导数。由定义3看出，条件期望是通过积分等式(1)确定的，根据积分性质易知，两个几乎处处相等的函数的积分是相等的。因此，条件期望的确定以及许多有关条件期望的论断都是不计几乎处处相等的差别的，从而涉及的关系式都是几乎处处相等意义下的。由上面的讨论，我们有如下的等价定义：定义4设X是概率空间(,,)FP上的可积(或积分存在)随机变量，G是F的子代数，则X关于G的条件期望Y是满足以下两条件的随机变量(i)Y是G可测的；(ii),AAYdPXdPAG。定义5设X是概率空间(,,)FP上的可积(或积分存在)随机变量，G是F的子代数，则X关于G的条件期望()EXG是满足以下两条件的随机变量：(i)()EXG是G可测的；(ii),AAEEXGIEXIAG。上述三个定义虽然表达式有所不同，但其本质是相同的，且都是以公理化的形式给出的，显得比较抽象，增加了定义的理解难度。1.3几何角度出发的条件期望定义从几何的角度，利用投影定理这一数学工具，给出条件期望的几何定义。引理2(投影定理)如果M是Hilbert空间H的一个闭线性子空间,且xH,那么(i)存在惟一元素^xM,使得infyMxxxy,(ii)xM且infyMxxxy成立的充分必要条件是xM,xxM,其中是Hilbert空间上的范数,M是M的正交补。称x为x在M上的正交投影,记为MxP。实Hilbert空间2(,,)LFP内积定义为,()XYEXY。引理3记():(,,)PPLFLF；():(,,)PPLGLG，则()PLG是()PLF的子空3间。于是,特别地,2()LG是2()LF的闭子空间。定义6(几何定义)以22(,,)(,,)LFPXEXGLGP表示2(,,)LFP到2(,,)LGP中的正交投影，则任给2(,,)XLFP,EXG称为给定G时X的条件期望。2条件期望的性质2.1一般性质因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数学期望的所有性质。性质1若c是常数，则()Ecc；性质2对任意常数a，有()()EaXaEX；性质3对任意的两个函数1()gx和2()gx，有1212()()()()EgXgXEgXEgX；性质4若X、Y相互独立，则()()()EXYEXEY。根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：推论111221122()()()()nnnnEaXaXaXbaEXaEXaEXb，其中12,,,,naaab均是常数时，特别有1212()()()()nnEXXXEXEXEX。推论2若12,,,nXXX相互独立，则1212(...)()()...()nnEXXXEXEXEX。注意：对于“和”，不要求12,,,nXXX相互独立，对于“积”，则要求12,,,nXXX相互独立。2.2特殊性质从条件期望的这几种定义出发还可得到以下性质。性质111221122()()()EaXaXGaEXGaEXG,其中12,aaR，且假定1122EaXaXG存在；证明：根据条件期望的定义5，由于12(),()EXGEXG都G可测，所以1122()()aEXGaEXG也G可测；4其次，令,1,2iAGAGEXIi，则,1,2iAiAAGEEXGIEXIi，所以11221122(()()),AAEaEXGaEXGIEaXaXIAG这表明1122()()aEXGaEXG是1122aXaX关于G的条件期望，从而证得11221122()()()EaXaXGaEXGaEXG。性质2如果,XY关于G为可积时，如果XY(..)as，则EXGEYG(..)as；证明：令[]AEXGEYG,1[]mAEXGEYGm，则mmAA。由于,XY关于G为可积，所以,nnG，nEXI,nEYI,因而110()()nmnAAPAEIEEXGEYGImm()()mnAEEXGEYGI()mnAEEXYGI()mnAEXYI0于是0nPA，从而0PA。这表明EXGEYG(..)as性质3如果X关于G为可积时，EXGEXG(..)as；证明：因为,XX关于G为也可积，且,XXXX，所以由条件期望的特殊性质2可知，()()EXGEXG(..)as，()()EXGEXG(..)as又由条件期望的特殊性质1可知，()()EXGEXG(..)as所以，EXGEXG(..)as。性质4（全数学期望公式）()EEXGEX；5证明：若()XG为离散型的随机变量时，()jjjEEXGEXGbpGb()()iijjjiapXaGbpGb,(,)iijijapXaGb()EX若()XG为连续型的随机变量时，()()GEEXGEXGypydy[()]()Gxpxydxpydy()()Gxpxypydxdy(,)xpxydxdy[(,)]xpxydydx()Xxpxdx()EX性质5如果X为G可测，则()EXGX；证明：这是条件期望的定义5的显然推论。特别当XC（常数）时，()ECGC(..)as。性质6如果X与代数G独立，则()()EXGEX；证明：设,XG是二维连续型随机变量，由独立性有,XGpxypxpy，其中,pxy，Xpx，Gpy分别是,XG的密度函数和边际密度函数，这时条件密度函数,XXGpxypx，于是当Gy时，XGEXGyxpxydx6XxpxdxEX，上式对一切y成立，所以()()EXGEX。在此仅就连续型的情况进行证明，而离散型的可类似证明。性质7若关于G为可积，Y为G可测且有限时，则EXYGYEXG(..)as.证明：为了证明EXYG有意义，首先须证XY关于G为可积。由于X关于G为可积，所以,,nnnAAGAEXI。由于Y为G可测且有限，所以令nBYn时nBG且nB。令nnnAB，则nG，n，并且nAEXYInEYI因此，XY关于G为可积。于是存在..as唯一的G可测随机变量EXYG，使得,AAAGEEXYGIEXYI，这里AGAGEXYI，于是AG，nnAAEEXYGIIEXYII。又因nEXYGI为G可测，所以由上式知，nEXYGI是nXYI关于G的条件期望。于是nnEXYGIEXYIG(..)as由于nnnXYIXIYI，,nnnnXYIXIYIEXI，nYI为G可测，所以()()nnnEXYIGYIEXIG(..)as。对于X，由于它关于G为可积，所以同样可以得到()()nnEXGIEXIG(..)as，于是，()()nnnYIEXIGYIEXG(..)as。综上所证，得()()nnEYXGIYIEXG(..)as，令n，则由上式得EXYGYEXG(..)as。性质8如果1G是代数G的子代数，则11()EEXGGEXG；7证明：显然，X关于G也可积。为了证明1EEXGG有意义须证EXG关于1G为可积。由于X关于1G为可积，