三点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、K三点共线．由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、RQ、RP上，根据公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分别在直线CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根据公理3可知M、N、K在平面PQR与平面BCD的公共直线上，所以M、N、K三点共线．例2.已知长方体1111ABCDABCD中，M、N分别为1AA与AB的中点，求证：1DM、DA、CN三线共点．由M、N分别为1AA与AB的中点知1//MNAB且112MNAB，又1AB与1DC平行且相等，所以1//MNDC且112MNDC，根据推论3可知M、N、C、1D四点共面，且1DM与CN相交，若1DM与CN的交点为K，则点K既在平面11ADDA上又在平面ABCD上，所以点K在平面11ADDA与平面ABCD的交线DA上，故1DM、DA、CN三线交于点K，即三线共点．从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。