人教版高中数学必修5课件第2章习题课2

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升习题课数列求和数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．通过具体实例，理解并掌握数列的分组求和法．2．通过具体实例，理解并掌握数列的裂项求和法．3．通过具体实例，理解并掌握数列求和的错位相减法．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升公式求和法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1和q≠1.(2)正整数和及正整数平方和公式有：①1＋2＋…＋n＝_________.②12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16.nn＋12数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升分组转化求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列．即先分别求和，然后再合并，形如：(1){an＋bn}，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；(2)an＝fn，n＝2k－1，gn，n＝2k(k∈N*)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项公式：裂项相消求和法数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)1nn＋1＝_______________；(2)12n－12n＋1＝_______________；(3)1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2；(4)1a＋b＝1a－b(____________)．1n－1n＋11212n－1－12n＋1a－b数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果在一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如_____数列的前n项和即是用此法推导的．倒序相加求和法等差数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如______数列的前n项和就是用此法推导的．错位相减求和法等比数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是()A．1,1B．－1，－1C．1,0D．－1,0解析：S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.答案：D数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为()A．14B．512C．34D．712数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：依题意bn＝1an＝1n2＋3n＋2＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，所以{bn}的前10项和为S10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512，故选B.答案：B数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知数列{an}的通项公式an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于________．解析：an＝2n－12n＝1－12n，∴Sn＝n－121－12n1－12＝n－1＋12n＝32164＝5＋164，∴n＝6.答案：6数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知等比数列{an}中，a2＝8，a5＝512.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)a5a2＝5128＝64＝q3，∴q＝4.∴an＝a2·4n－2＝8×4n－2＝22n－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由bn＝nan＝n×22n－1知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①从而22×Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1，②①－②得(1－22)×Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升分组求和已知数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1，数列{bn}满足：bn＝an＋lnan，求数列{bn}的前n项和Sn.[思路点拨]此数列的通项公式为bn＝2·3n－1＋ln2＋(n－1)ln3，而数列{2·3n－1}为等比数列，数列{ln2＋(n－1)ln3}为等差数列，故采用分组求和．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记]因为bn＝an＋lnan＝2·3n－1＋ln2＋(n－1)ln3，所以Sn＝2(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[ln2＋(ln2＋ln3)＋(ln2＋2ln3)＋…＋(ln2＋(n－1)ln3)]＝2×1－3n1－3＋nln2＋n×n－12ln3＝3n－1＋nln2＋nn－12ln3.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知数列{cn}：112，214，318，…，试求{cn}的前n项和．解析：令{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升＝nn＋12＋121－12n1－12＝nn＋12＋1－12n.即数列{cn}的前n项和为Sn＝n2＋n2＋1－12n.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升裂项相消法求和在数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)(n∈N*)在直线y＝2x上，(1)求数列{an}的通项公式；[思路点拨](1)由递推关系利用等比数列定义求出an的通项公式．(2)观察bn通项公式的特点，采用裂项相消法求和．(2)若bn＝log2an，求数列1bn·bn＋1的前n项和Tn.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由已知得an＋1＝2an，所以an＋1an＝2.又因a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝a1·2n－1＝2n(n∈N*)．(2)由(1)知，an＝2n，所以bn＝log2an＝n，所以1bn·bn＋1＝1n·n＋1＝1n－1n＋1，所以Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)若数列{an}是等差数列，公差为d，则和式Tn＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1an－1an可用裂项法求和，具体过程如下：∵1an－1·an＝1d1an－1－1an，∴Tn＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1－1an＝1d1a1－1an＝n－1a1an.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)裂项法求和是数列求和的一种常用方法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数列的前n项和．常用到的裂项公式有如下形式：①1nn＋k＝1k1n－1n＋k；②1n＋k＋n＝1k(n＋k－n).数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为()A．100101B．99101C．99100D．101100数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：利用裂项相消法求和．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴a1＋4d＝5，5a1＋5×5－12d＝15，∴a1＝1，d＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴数列1anan＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…[phone]＝1－1101＝100101.答案：A数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升错位相减法求和求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.[思路点拨]讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方法．[规范解答](1)当x＝0时，Sn＝0.2分(2)当x＝1时，Sn＝nn＋12.4分(3)当x≠0且x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn①xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1②数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn1－x－nxn＋1，8分∴Sn＝x1－x2·[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，10分∴Sn＝nn＋12x＝1，0x＝0，x1－x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠0，x≠1.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和，其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.(1)求an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由Sn＝kcn－k，得an＝Sn－Sn－1＝kcn－kcn－1(n≥2)．由a2＝4，a6＝8a3，得kc(c－1)＝4，kc5(c－1)＝8kc2(c－1)，解得c＝2，k＝2，所以a1＝S1＝2，an＝kcn－kcn－1＝2n(n≥2)，于是an＝2n.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)Tn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，Tn＝2Tn－Tn＝－2－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－2n＋1＋2＋n·2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破