幻方和数阵

知识网络传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了这样的数阵图，也称做幻方。幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。幻方是特殊的数阵图。大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。这个相等的和叫“幻和”。要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。重点·难点要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。学法指导解数阵图的一般方法：（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。（2）依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。（3）对其他部位上的数字作尝试选填，一直到能够得出符合要求的排法为止。经典例题[例1]把1~6这6个数分别填在图1等边三角形上的○内，使每条边上三个○内的数字和相等。思路剖析先将六个数字的位置用字母标识出来。1+2+3+4+5+6=21，用s表示每边上三个○内数的和。因为三个顶点上的数在求和时，都用了两次，则有21+a+b+c=3×s，因为a+b+c的最小值为1+2+3=6，最大值为4+5+6=15，所以3×s的最小值为21+6=27，最大值为21+15=36。那么s的最小值为9，最大值为12。也就是说此图形每条边上三个数字的和可能为9、10、11或12。解答（1）当s=9时，a+b+c=6这时：a=1，b=2，c=3d=s-（a+b）=9-（1+2）=6e=s-（a+c）=9-（1+3）=5f=s-（b+c）=9-（2+3）=4（2）当s=10时，a+b+c=9这时a，b，c的可能情况有三种：i）a=1，b=2，c=6d=s-（a+b）=10-（1+2）=7因为数字超出可选范围，所以不合题意。ii）a=1，b=3，c=5d=s-（a+b）=6e=s-（a+c）=4f=s-（b+c）=2iii）a=2，b=3，c=4d=s-（a+b）=5e=s-（a+c）=4因为数字出现重复，所以不合题意。（3）当s=11时，a+b+c=12这时a、b、c的可能情况有：i）a=1，b=5，c=6d=s-（a+b）=5因为数字出现重复，所以不合题意。ii）a=2，b=4，c=6d=s-（a+b）=5e=s-（a+c）=3f=s-（b+c）=1iii）a=3，b=4，c=5d=s-（a+b）=4因为数字出现重复，所以不合题意。（4）当s=12时，a+b+c=15那么a=4，b=5，c=6d=s-（a+b）=3e=s-（a+c）=2f=s-（b+c）=1点津通过求和、确定最大值和最小值等方法，尽量得到关键位置数字的最小范围。[例2]将1~10十个数字填入图2的10个○内，使每个四边形四个顶点上各数的和等于24。思路剖析题中的条件要求每个四边形四个顶点的和等于24。从图中可以看出，有三个四边形，有2个位置的数字被重复使用。它们即为解题的突破口。三个四边形的总和24×3=72，1+2+…+10=55，那么中间位置两个数字和为72-55=17。1~10中和为17的数为10与7，9与8。当中间数为10和7时，有：2+3+9+10=24，1+6+7+10=24，4+5+7+8=24，得第一种结果。当中间数为9和8时，有：1+5+8+10=24，3+4+8+9=24，2+6+7+9=24，得第二种结果。解答点津找到关键位置的数字，使它们与所给数字的总和建立联系，然后确定它们的数值，再相应得到其他位置的数字。[例3]把1~8各数填入图3的圆圈内，使每个面上四数的和等于18。思路剖析此立方体图形比较特殊，每个顶点位置的数字被重复的次数相同。因此找不到关键数字。因此只能从每个面上四个数字的和为18入手。先将1填入其中任意一个位置，来找到所有含有“1”，并且和为18的情况，有：1+2+7+8，1+3+6+8，1+4+5+8，1+4+6+7。将其中任意一组的4个数放入其中一个面的四个圈中，再将其他的数字以此为基础做出调整，即可得出答案。解答[例4]20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。将这八个奇数填入图4的八个○中（其中“3”已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。思路剖析需要填入的7个数字为1、5、7、11、13、17、19。此7个数字和为1+5+7+11+13+17+19=73。最后一个位置的数为关键数，它可能为7个数中的一个。①若为1，则6个数的和为73-1=72，由题意可知，中间三组每两个数的和相等，那么和为72÷3=24，24-19=5，24-17=7，24-13=11。则得结果为：②若末尾位置数字为5，则6个数的和为73-5=68，不能被3整除，则不合题意。③若末尾数字为7，则6个数字的和为73-7=66，那么中间组两数之和为66÷3=22，22-19=3，数字超出可选范围，不合题意。④若末尾数字为11，则6个数字的和为73-11=62，不能被3整除，则不合题意。⑤若末尾数字为13，则6个数字的和为73-13=60，那么中间组两数之和为60÷3=20，20-19=1，20-17=3，超出了可选范围，不合题意。⑥若末尾数字为17，则6个数字的和为73-17=56，不能被3整除，则不合题意。⑦若末尾数字为19，则6个数字的和为73-19=54，那么中间组两数和为：54÷3=18。18-17=5，18-13=5，18-11=7。解答结果为：[例5]将1~12这十二个数分别填入图5中的各个圈内，使每条线段上五个圈内数的和相等，并且两个六边形六个顶点上圈内数的和也相等。思路剖析此数阵图受两种图形的制约，既要使三条相交线段上的五个数的和相等，又要使两个六边形六个顶点上的数字和相等。因此不妨先使其满足其中一个数阵图，再经过调整使之满足整个图形的要求。首先考虑三条线段相交的这种开放型数阵图。因为中心数已给出，则不加以考虑。由于每条线段上四个圈内的数的和相等，那么每条线段上四个数的和为：（1+2+…+12）÷3=78÷3=26。因26是一个偶数，所以每条线段上四个数中奇数的个数一定偶数个。每条线段上四个数和的一半是26÷2=13，也就是说，一个奇数与一个偶数要组成13。搭配的方法如下：1+12，2+11，3+10，4+9，5+8，6+7。由此可得到三条线段相当的数阵图的一个解。再来考虑满足六边形上六个顶点的数字和相等。其数字和应为26+13=39。将开放图中数阵图的答案进行适当的调整，可得到答案。解答结果如图6所示。点津对于较复杂的数阵图，要学会将其分解，化难为易，逐个突破难关。[例6]将1~9九个数字填在图7内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上的三个数之和相等。思路剖析1~9九个数字之和正好为三个纵行（或横行）的数字之和，1+2+…+9=45。由题意知每一横行、纵行和对角线上的三个数之和相等。则此三个数的和为45÷3=15。找到所有三个数和为15的情况：1+5+9，1+6+8，2+4+9，2+5+8，2+6+7，3+4+8，3+5+7，4+5+6。图中位于中心位置的数是关键数，有四条线通过它，因此要求它出现于4个算式中，容易找出这个数是5。4个角上的数字有三条线通过，应该在算式中出现三次，找到它们是2、4、6、8。则其他位置的数通过简单计算可确定。解答☆解法一：（这就是我们在本讲开篇所提到的幻方。）☆解法二：介绍数学家杨辉对幻方构造方法的总结。他写道：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。用图式解释为：☆解法三：由解法二的分析，可以得到一种适合于编排所有的奇数阶幻方的方法，罗伯法。罗伯法口诀如下：①1居下行正中央；②依次斜填切莫忘；③下出框时往上写；④左出框时往右放；⑤排重便往上格填；⑥左下排重一个样。现以3阶幻方为例应用此口诀。点津运用罗伯法只能构造出奇数阶的幻方。若所要填入的n×n个自然数，不是从1开始的，那么就把最小的一个当做是“1”，仍可以用罗伯法来构造。[例7]将1~16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。思路剖析先求出此幻方的幻和：（1+2+…+16）÷4=136÷4=34。将1~16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格内，这时两主对角线上四个数的和为34，正好等于四阶幻方的幻和，其他每行、每列四个数的和都不等于34。（如图8）保持两主对角线上的数不动，通过改变其他位置的数字来达到目的。先将一、四两列和二、三两列中的其他数字互相交换。（如图9），再将一、四两行与二、三两行中非主对角线上的数字交换，就得到一个四阶幻方。也可将以上步骤归纳为：保持对角线上的数字不变，其他各数都做中心对称交换。解答点津注意此法的适用范围，限于四阶幻方。发散思维训练1．将4、5、6、7、8、9六个数，填在图10的空格里，使每条线上的三个数的和都是18。2．图11中有10个小三角形、4个大三角形，请把0~9填入图中的小三角形内，每格填一个数，使4个大三角形内的数字和相等。3．在图12中各圆空余部分填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和都是15。4．将数字1~7填入图13中圆锥的7个小圆圈内，使3条线段上3个数之和、两圆周上3个数之和均相等。5．将1~7七个数字，填入图14中的圈内，使每条线上三个数的和相等。6．在图15中的空格内各填入一个数字，使得每行、行列以及每条对角线上方格中的四个数都是1、2、3、4。7．从1~13中选出12个数，填入图16空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。参考答案1．解：由已知条件，每条线上三个数的和是18，那么三条线上9个数的和为18×3＝54，且六个数的和4+5+6+7+8+9=39，三角形三个顶点上的数是重复相加的，所以三个顶点的数字和为54-39=15。六个数字中和为15的数为4、5、6。则三个顶点的数字分别为4、5、6。其他数字易求。结果如图1所示。2．解：每个大三角形内有4个小三角形，中心位置的小三角形用到的次数最多，有4次。则它一定为0，由它的特殊位置决定。由题意知a+b+c=d+e+f＝g+h+i＝b+e+h，l+2+…+9=45，那么每一个大三角形的数字和为45÷3=15，l~9中，和为15的不重复数字的组合有：1、6、8；3、5、7；2、4、9。从此三组中分别取一个数字使其和仍为15的是4、5、6。即它们为b、e、h。所以结果为图2右图所示。3．解：由于每个圆中4个数的和为15，分别求出上圆另外两数和为15-3-5=7，易知1+6＝7，左圆另外两数的和为15-3-7=5，易知1+4=5，右圆另外两数的和为15-5-7=3，易知1+2=3。则中间数一定为1，结果为图3所