正弦定理和余弦定理

1正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22abS△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)r(r是三角形内切圆半径)，并可由此计算R、r选择题在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()A．1个B．2个C．0个D．无法确定解析∵bsinA＝6×22＝3，∴bsinAab，∴满足条件的三角形有2个．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B.3C．23D．2解析因为S＝12×AB×ACsinA＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()2A．x＞2B．x＜2C．2＜x＜22D．2＜x＜23解析若三角形有两解，则必有a＞b，∴x＞2，又由sinA＝absinB＝x2×22＜1，可得x＜22，∴x的取值范围是2＜x＜22.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是()A．(8,10)B．(22，10)C．(22，10)D．(10，8)解析因为31，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故12＋x232，12＋32x2，即8x210.又因为x0，所以22x10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析已知cbcosA，由正弦定理，得sinCsinBcosA，即sinCsinBcosA，所以sin(A＋B)sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA0，所以cosBsinA0.又sinA0，于是有cosB0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析由正弦定理得bsinB＝csinC，∴sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形3C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0)．则cosC＝5x2＋11x2－13x22·5x·11x＝－23x2110x2＜0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B，所以“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充分必要条件．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.3π4B.π3C.π4D.π6解析在△ABC中，由b＝c，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2b2－a22b2，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝π4，故选C.在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为32，则C＝()A．30°B．45°C．60°D．75°解析∵S△ABC＝12·AB·AC·sinA＝32，即12×3×1×sinA＝32，∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°，故选C已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，则B等于()A.π6B.π4C.π3D.3π4解析根据正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得c－bc－a＝sinAsinC＋sinB＝ac＋b，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，故B＝π3，故选C.4在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝2π3，a＝2，b＝233，则B等于()A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asinA＝bsinB可得，sinB＝basinA＝2332×32＝12，∵A＝2π3，∴B＝π6设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C等于()A.2π3B.π3C.3π4D.5π6解析因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－35a＝75a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－12，所以C＝2π3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6，∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.填空题△ABC中，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为______解析由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，又sinA≠0，∴sinA＝1，A＝π2，∴△ABC为直角三角形．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝________.解析因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得1sinA＝3sin60°，解得sinA＝12，5因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝12ab＝32在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝______解析由余弦定理：cosA＝b2＋c2－a22bc＝25＋36－162×5×6＝34，∴sinA＝74，cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋25－362×4×5＝18，∴sinC＝378，∴sin2AsinC＝2×34×74378＝1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为______解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosBtanB＝32，∴sinB＝32，∴B＝π3或2π3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋3bsinC－a－c＝0，则角B＝______解析由正弦定理知，sinBcosC＋3sinBsinC－sinA－sinC＝0∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，代入上式得3sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0∵sinC＞0，∴3sinB－cosB－1＝0，∴2sinB－π6＝1，即sinB－π6＝12.∵B∈(0，π)，∴B＝π3在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_____解析由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋2bc，∴cosA＝22，A＝45°，sinB＝12，B＝30°，∴C＝105°.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝______解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×－14＝16，所以c＝4.6设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝______解析因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，B＋Cπ，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB＝______解析∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，将A＝2π3，a＝3c代入，可得(3c)2＝b2＋c2－2bc－12，整理得2c2＝b2＋bc，∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝bc2＋bc，可解得bc＝1在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－14，则a的值为______解析∵cosA＝－14，0＜A＜π，∴sinA＝154，S△ABC＝12bcsinA＝12bc×154＝315，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×－14＝64，∴a＝8.解答题在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝π4，b2－a2＝12c2(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解(1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得7sin2B－12＝12sin2C.所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝π4，即B＋C＝34π，得－cos2B＝－cos234π－C＝－cos32π－2C＝sin2C＝2sinCcosC，②，由①②解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝255，cosC＝55，因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，所以sinB＝31010，由正弦定理得c＝223b，又因为A＝π4，12bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝3bsinA－acosB.(1)求