数学物理方程及定解问题资料

数学物理方法2015.02第一节波动方程及定解条件第二节热传导方程与扩散方程第三节位势方程第四节定解问题的适定性第八章数学物理方程及定解问题数学物理方法2015.02第一节波动方程及定解条件一维波动方程或弦振动方程物理模型一长为l的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦上各点的运动规律。柔软性：发生于弦中的张力其方向总是沿着弦线的切线方向均匀细弦：线密度为常数，弦线可以ol来代替微小振动：若用u(x,t)来表示弦线在t时刻的形状，则微小振动是指21xu数学物理方法2015.02数学模型的建立211212tttttttttt动量动量外力产生的冲量张力产生的冲量22112100(,)(,)bbtbtxxaatatttttuudxdxdtfdxTubtuatdttt2221112002tbtbtbtatatauudtdxdtfdxdtTdxttx设：u(x,t)表示在时刻t弦上点x处的位移f0(x,t)表示作用在弦线上且垂直平衡位置的强表示线密度(千克/米)，迫外力密度(牛顿/米)2211210(,)sin(,)sinbbtbtbaaatatttttuudxdxdtfdxTbtTatdttt第一节波动方程及定解条件数学物理方法2015.02数学模型22222(,)uuafxttx其中：u(x,t)表示在t时刻、弦线在x点处的位移f(x,t)=f0/表示单位质量所受的外力a2=T0/：T0表示张力、为线密度第一节波动方程及定解条件数学物理方法2015.02定解条件初始条件给出弦在初始时刻t=0的位移和速度(,0)(),(,0)()tuxxuxx边界条件给定位移函数u(x,t)在边界或端点x=0,l上的限制。一般来有三种类型：12(0,)(),(,)()utgtultgt第一类边界条件：12(0,)(),(,)()xxTutgtTultgt第二类边界条件：1122(0,)(0,)()(,)(,)()xxTututgtTultultgt第三类边界条件：第一节波动方程及定解条件数学物理方法2015.02定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：由方程、初始条件和一类边界条件构成的定解问题初始问题：由方程和初始条件构成的定解问题22222,,0(,0)(),(,0)(),tuuaxttxuxxxuxx22222,0,0(0,)(,)0,0(,0)0,0(,0)(),tuuaxlttxutulttuxxluxx例：第一节波动方程及定解条件数学物理方法2015.02二维波动方程或膜振动方程2222222(,,)uuuafxyttxy一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在t时刻、膜在(x,y)点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、为面密度第一节波动方程及定解条件数学物理方法2015.02三维波动方程或声波方程222222222(,,,)uuuuafxyzttxyz第一节波动方程及定解条件数学物理方法2015.02热传导方程在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。物理模型均匀物体：物体的密度为常数各向同性：物体的比热和热传导系数均为常数第二节热传导方程与扩散方程数学物理方法2015.02数学模型的建立设：u(x,y,z,t)表示物体于时刻t在位置x,y,z处的温度C表示是比热(焦耳/度·千克)f0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克·秒)表示密度(千克/米3)，k表示导热系数211212tttttttttt热量热量通过边界的流入量热源的生成量2211210(,,,)(,,,)(,,,)ttttDDDuCuxyztuxyztdxdydzdtkdSdtfxyztdxdydzn2221110ttttttDDDudtCdxdydzdtkudtfdxdydzt第二节热传导方程与扩散方程数学物理方法2015.02数学模型2(,,,)uaufxyztt二维的情形：22222(,,)uuuafxyttxy一维的情形：222(,)uuafxttx其中：a2=k/C，f(x,y,z,t)=f0/C，222222xyz第二节热传导方程与扩散方程数学物理方法2015.02定解条件边界条件给定温度函数u(x,y,z,t)在物体表面的限制。一般来有三种类型：(0,)(,,,)(,,,)uxyztgxyzt第一类边界条件：初始条件给出物体在初始时刻t=0的温度(,,,0)(,,)uxyzxyz第二类边界条件：(0,)(,,,)ukgxyztn第三类边界条件：(0,)(,,,)uugxyztn第二节热传导方程与扩散方程数学物理方法2015.02定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：以三维为例：设是R3中的任意有界开区域，在柱体3[0,)上，由方程、初始条件和一类边界条件构成的定解问题初始问题：以三维为例：在上半空间R3[0,)上，由方程和初始条件构成的定解问题222,,0(,0)(),uuaxttxuxxx222,0,0(0,)(,)0,0(,0)()0xuuaxlttxutulttuxxxl例：第二节热传导方程与扩散方程数学物理方法2015.02扩散方程考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻t的分布规律。物理模型数学模型(,,,)uDufxyztt其中：u(x,y,z,t)表示于时刻t在(x,y,z)处的分子浓度f(x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数D为扩散系数第二节热传导方程与扩散方程数学物理方法2015.02第三节位势方程稳定的温度场膜平衡方程22222(,)uuafxyxy2(,,)aufxyz数学物理方法2015.02定解条件与定解问题的提法(,,)(,,)uxyzgxyz第一类边界条件：第二类边界条件：(,,)ukgxyzn第三类边界条件：(,,)uugxyzn定解问题只提边值问题第三节位势方程数学物理方法2015.02222(,,,)uaufxyztt波动方程双曲型2(,,,)uaufxyztt热传导方程抛物型2(,,)aufxyz位势方程椭圆型2,1()()()()mmijiijiijiuuaxbxcxufxxxx二阶线性偏微分方程的一般形式第四节定解问题的适定性数学物理方法2015.02存在性存在一个足够光滑的函数，使其满足方程和定解条件H.Lewy例(1957年)2()(,,)xytuiuixyufxyt存在一个函数f(x)C()使得该方程在C1()中无解第四节定解问题的适定性数学物理方法2015.02唯一性定解问题在给定的函数类中最多有一个解量子力学中能量本征值问题当能量E取何值时，该定解问题有非零解222minmax2()00dmEVxdxxx第四节定解问题的适定性数学物理方法2015.02稳定性当定解条件变化很小时，解的变化也很小，即解连续地依赖定解条件Hadamard例(1930年代)这个初始问题有解10,,0(,0)0,(,0)sin,xxyyyuuxRyuxxRuxnnxxR2(,)sinhsinuxynnynx第四节定解问题的适定性