高中数学人教版选修11配套课件第3章导数及其应用321322一

3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)第三章§3.2导数的计算2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.学习目标1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数.栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一几个常用函数的导数答案原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝__f(x)＝xf′(x)＝__f(x)＝x2f′(x)＝__f(x)＝1xf′(x)＝－1x2f(x)＝xf′(x)＝12x012x知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝___f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝_____f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝______f(x)＝axf′(x)＝(a0)f(x)＝exf′(x)＝__f(x)＝logaxf′(x)＝(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝__0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x答案返回题型探究重点突破解析答案题型一利用导数定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)＝2016x2的导数.反思与感悟解f′(x)＝limΔx→02016x＋Δx2－2016x2x＋Δx－x＝limΔx→02016[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2016x2Δx＝limΔx→04032x·Δx＋2016Δx2Δx＝limΔx→0(4032x＋2016Δx)＝4032x.解析答案跟踪训练1利用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数.解y′＝limΔx→0x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋bΔx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.解析答案题型二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝sinπ3；解y′＝0；(2)y＝5x；解y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y＝1x3；解y′＝(x－3)′＝－3x－4；解析答案反思与感悟(4)y＝4x3；解y′＝(4x3)′＝()′＝＝344x；(5)y＝log3x.解y′＝(log3x)′＝1xln3.34x1434x解析答案跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝x13；解y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(2)y＝4x；解y′＝(4x)′＝()′＝(3)y＝sinx；解y′＝(sinx)′＝cosx；(4)y＝15x2.解y′＝(15x2)′＝()′＝14x1314411;44xx25x2715522.55xx解析答案题型三利用导数公式求曲线的切线方程反思与感悟例3求过曲线y＝sinx上点Pπ6，12且与过这点的切线垂直的直线方程.解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点Pπ6，12处的切线斜率是：y′|＝cosπ6＝32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y－12＝－23(x－π6)，即2x＋3y－32－π3＝0.6x解析答案跟踪训练3(1)求曲线y＝cosx在点Aπ6，32处的切线方程；解∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，y′|＝－sinπ6＝－12.∴曲线在点A处的切线方程为y－32＝－12x－π6，即y＝－12x＋32＋π12.6x解析答案(2)求曲线y＝sinπ2－x在点A－π3，12处的切线方程.解∵sinπ2－x＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.∴曲线在点A－π3，12处的切线的斜率为k＝－sin－π3＝32.∴切线方程为y－12＝32x＋π3，即33x－6y＋3π＋3＝0.思想方法数形结合思想的应用例4设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.分析如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.解设与直线y＝x平行的直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).因为y′＝ex，所以，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1).解析答案返回解后反思所以点P到直线y＝x的最小距离为|0－1|2＝22.0e1x当堂检测12345解析答案1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A.0B.2xC.6D.9解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.C解析答案123452.函数f(x)＝x，则f′(3)等于()A.36B.0C.12xD.32解析∵f′(x)＝(x)′＝12x，∴f′(3)＝123＝36.A123453.设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.[0，π4]∪[3π4，π)B.[0，π)C.[π4，3π4]D.[0，π4]∪[π2，3π4]解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，π4]∪[3π4，π).A解析答案解析答案123454.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_____.解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝12×1×|－e2|＝12e2.12e2解析答案123455.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.－13或2课堂小结返回1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin2x2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.