数学模型与分类讨论

数学模型思想所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方法对所要解决的实际问题进行的一种刻画。一般地，通过建立数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。教学中加强数学建模的教学，引领学生寻找解题的途径。针对一类问题，给学生一个模式，让学生有据可依，以不变应万变，触类旁通，这样较为符合学生的心理特征，也有利于提高学生解决问题的能力。一、数学模型思想在初中数学中的意义近几年，中考加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，考察学生应用数学的能力。但是学生在应用题中的得分率远低于其它题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识。二、解答数学模型问题的一般步骤（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；（2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、概率模型、统计模型等）;（3）求解数学问题，获得数学模型的解答；（4）回到实际问题，检验模型，解释结果。实际问题现实原型假设、概括、抽象数学化数学模型用数学知识和方法解决数学问题数学模型的解答检验回到实际问题原始问题的解答获得解决应用数学模型解决问题的过程，大致可用如下框图来表示：三、初中数学建模的过程1.审题建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。2.简化根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。3.抽象将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后，通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。（一）拉水管模型（二）测古塔和测河宽模型（三）平行线+角平分线等腰三角形（四）等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高四、几种常见的几何模型【例题】要在河边上修建一个水泵站，分别向张庄、李村送水,修在什么地方，才能使它到两村距离之和最短。A..B河l∟A1...PP1（一）拉水管模型思路分析：可以把这个实际问题归结为一个数学模型：“已知直线l和在l的同一侧的两点A、B,求作点P，使点P在直线l上并且PA+PB最小.”该问题可以通过“作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1与直线l相交于点P,则点P就是所求作的点”使问题得到解决。如图，L是一面镜子，光源A通过镜面反射经过点B，请画出光路图。上图中，L是台球桌案一边，台球A撞击L后，反弹撞击B球，请画出路线图。A..BLA1..P1.在几何作图中的应用）坐标为（从而求得点时，当解析式为的的位置。容易求得直线找到点水管”模型轴当作河，再利用“拉当作两村，、在此问题中，可以把04114110311341,xy-PxyBAPxBA如图，在x轴上有一动点P,使点P到点A（2,1）、B（5,3)的距离之和最小，求（1）点P的坐标（2）求这个最小值。xyOA(2,1)..B(5,3)∟.A1(2,-1).PC55432111这个最小值是，中在BABCCABCARt)(2.在平面直角坐标系中的应用思路分析：如图，等边△ABC的边长是2，D是BC的中点，在AC上有一动点P使PB+PD最小，求这个最小值。ABC.D.D1P.法1：作出点D关于AC的对称点D1，连接AD、AD1由等腰三角形“三线合一”性质可知，ADBC,且∠1=∠2=∠3=300,AD=AD1=∟123所以，∠BAD=9003123在Rt△ABD1中BD1=7)3(22233.在等边三角形中的应用ABC.D.D1P.12法2：作出点D关于AC的对称点D1,过D1作D1EBC交BC延长线于E，连接CD1可证∠1=∠2=∠3=600，CD=CD1=1，在Rt△CED1中CE=,D1E=在Rt△BED1中BD1=E1112321237)23()212(222321300如图，梯形ABCD中，AB∥CD,∠A=900，P是AD上一动点，使PB+PC值最小，那么点P应满足的条件是（）A.PA=PDB.∠CPD=∠APBC.PC⊥PBD.以上都不对DABC.C1.P123B4.在梯形中的应用正方形ABCD的边长为8，点E是BC上一点，CE=2，在BD上有一动点P，使PC+PE最小，求这个最小值。ABCD.E..P8265.在正方形中的应用.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=600,E是AB的中点，P为AC上一动点，使PE+PB最小，求这个最小值。BACD.E..P600126.在菱形中的应用矩形ABCD中，AB=2，∠BAC=300,E是AB的中点，P为AC上一动点，使PE+PB最小，求这个最小值。.B1ABCD.E.P300300∟12问题：如果把条件改为“E是AB上一点”应该这样思考？7.在矩形中的应用半径为2的⊙O中，AB是直径，C、D为半圆上两点，若AC为960，BD为360，动点P在AB上，求PC+PD的最小值。ABOCD...960840.D1.P36022E8.在圆中的应用6003001若,当x=______时，y有最小值为______。4)-9(1y22xxB1.ABCDP12x9-x2∟E此题乍一看让人无处下手，通过仔细观察发现，两个被开方数均为“a2+b2”的形式，这很容易让人联想到勾股定理。此题若采用数形结合的思想方法既有助于找到解答思路，也常使解答简捷.数形结合的关键在于能将代数问题蕴含的几何图形，几何知识抽取，转化出来，再进行解决。法一：利用相似法二：利用勾股定理299.在二次根式中的应用思路分析：.4212xxyxyOABCx=1-24-4..P法二：利用相似法一：利用一次函数二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，使PA+PC最小，求点P的坐标。D10.在二次函数中的应用若把问题“使PA+PB最小”改为“使△PAB周长最小”，应怎样思考？A..BL∟A1..P拓展1若把直线L改为一个角，在直线L和L1上分别找一点P、Q使四边形APQB周长最小。..BLA.A1.B1..PQL1拓展2如图，∠MON=450，OA=10，在OM、ON上分别找点P、Q,使△APQ周长最小，求这个最小周长。MNO.A.A1.A2.P.Q4501010拓展31432如果A、B两村庄在河L两侧,河的宽度为a，试设计一条连接A、B两村庄的道路，使工程造价最低。..B.A1A河宽aa.C.D拓展4A..BL如图，试在直线L上确定一点P,使的值最大。.P.P1拓展5PAPBA..BL如图，如果点A、B在直线L两侧，试在直线L上确定一点P,使的值最大。.PA1..P1拓展6PAPB解决线段之和最短的问题，就是利用轴对称的有关性质，将线段之和最短转化为线段最短的问题。让学生记住这个数学模型，从而轻松解决“最短”问题。由于角、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、圆、抛物线等图形都具有轴对称性，因而，此数学模型通常建立在与这些图形有关的问题背景下，考察内容多与作图题、计算题有关。小结【例题】如图，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为300，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，小明的身高为1.5m，那么该塔有多高？(精确到0.1m）AB.1.5mC50m300600.D30050m米。该塔高约为中在1881885135035050600...tBCDRtBEBDBDanE.（二）测古塔模型8691325615031503333333503335035033350333350300.)())(()()(tanBExxxxxxABDRt中在AB.1.5mC50m300450.D如果把条件中的“仰角600”改为“仰角450”，应该怎样思考？600解:设BD为x米，则CD为x米，AD为（50+x）米xx米。该塔高约为中在86986951132513255013503350600...)()()(tABDRtBExxxxxxan.E拓展132522532521300ABBDBADABDRt中在AB.1.5mC50m300750.D如果把条件中的“仰角600”改为“仰角750”，应该怎样思考？450E2525600拓展2海中有一个小岛P，它的周围20海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．P600300A.B450450∟C12有触礁危险。中在海里。为（海里，为海里，则为设解201613631260120)(tABDRt)x:xxxanACxBCxPCxx如果P是一所学校，某拖拉机在公路上以4米/秒的速度由A正东方向行驶，已知拖拉机周围20米以内会受到噪音影响，问：（1）学校是否会受到噪音影响？说明理由。（2）若受到噪音影响，那么学校受到影响的时间为多少秒？秒。学校受到影响的时间为中在、于点半径画弧交直线米为为圆心，以）以点（642424212162020222CDDECDPCDRtEDBCP.DE162012应用举例....ABC50m【例题】如图，为了测量一条河的宽度，一位测量员在河的南岸东西方向相距50m的A、B两点分别测量对岸河边点C的位置，C在A的北偏东600方向，在B的北偏西450方向，求河宽。600300450450Dxx50-x米。（河宽是中在米为（米，为米，则为设于作解：过点)-)()(tan)x-x13251325501350335060500xxxxxxACDRtADBDxCDDABCDC测河宽模型将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),求两个三角形重叠（阴影）部分的面积？图2图1A(M)EDCBEDCBA(M)F10450450600600G。重叠部分的面积为（解得：中在为（，为，则为设于作解：过点2032575325753515102135153106010cmSxxxAFGRtcmAGcmCGxcmFGGACFGFACF)-)(tan)x-x应用举例测古塔模型，实际上就是测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题。而测河宽模型模型，就是底部可以到达的问题。由于给出的边长不属于任何一个直角三角形，因此不能直接利用解直角三角形去解决，往往需要添加辅助线，假设未知数，然后转化为解直角三角形的问题。为了计算方便，考试时给出的两个角一般都是特殊角，我们要根据不同的特殊角选择不同的解题技巧。小结【例题】如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？(初二上册第11页）ABCD123解:△ABD是等腰三角形∵AD∥BC∴∠1=∠2∵∠2=∠3∴∠1=∠3∴AB=AD∴△ABD是等腰三角形（三）平行线+角平分线等腰三角形CFBEEFCFBEEFCFBEEF如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,过点O作直线EF∥BC交AB于E，交AC于F.猜想EF与BE、CF之间的关系。ABCEFABCA