复变函数总结汇总

第一章复数与复变函数一、复数几种表示（1）代数表示yixz（2）几何表示：用复平面上点表示（复数z、点z、向量z视为同一概念）（3）三角式：)sin(cosirz（4）指数式：irez辐角kzArgz2arg22||yxz0,0,2/0,0,2/0,0,arctan0,0,arctan,0,arctanargyxyxyxxyyxxyxxyzizzyzzx2,2二、乘幂与方根（1）乘幂：irez，innnerz（2）方根：1,2,1,0,||arg2nkezzinzknn第二章解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数求导法则与一元实变函数类似函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导注：（1）点解析点可导，点可导推不出点解析（2）区域内解析与可导等价二、定理1ivuzfw)(在0z可导vu,在0z可微，满足C-R方程定理2ivuzfw)(在区域D内解析（可导）vu,在区域D内可微，满足C-R方程讨论1vu,在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程ivuzfw)(在区域D内解析（可导）三、解析函数和调和函数的关系1、定义1调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。定义2设),(),,(yxyx是区域D内调和函数，且满足C-R方程，xyyx,，则称是的共轭调和函数。2、定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。定理2函数在D内解析虚部是实部的共轭调和函数。3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）理论依据：（1）虚部、实部是调和函数。（2）实部与虚部满足C-R方程。求解方法：（例如已知v）（1）偏积分法：先求yxuu,，再求)(ydxuux，得出)(y（2）利用曲线积分：求duuuyx,,，再cdyudxuuyxyxyx),(),(00（3）直接凑全微分：求duuuyx,,，再du四、初等函数1、指数函数)sin(cosyiyeeeewxiyxz性质：（1）ze是单值函数，（2）ze除无穷远点外处处有定义（3）0ze（4）ze处处解析，zzee)(（5）2121zzzzeee（6）ze是周期函数，周期是ik22、对数函数kizizLnzw2arg||ln（多值函数）主值（枝）zizzarg||lnln（单值函数）性质：（1）定义域是0z，（2）多值函数（3）除去原点和负实轴的平面内连续（4）除去原点和负实轴的平面内解析，zLnz1)(，zz1)(ln，（5）3、幂函数,0(zezwLnz是复常数）（1）为正整数，函数单值、处处解析，（2）为负整数，函数单值、除去0z及其负实轴处处解析，4、三角函数欧拉公式sincosiei2121)(LnzLnzzzLn2121LnzLnzzzLn或ieeeeiiii2sin,2cos定义：ieezeeziziziziz2sin,2coszzzzzzsin/coscot,cos/sintanzzzzsin/1csc,cos/1sec性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样各种三角公式、求导公式照搬注：zzcos,sin的有界性保护成立。第三章复变函数的积分一、复积分ccyixdviudzzf)()()(ccudyvdxivdyudxcdzzf)(（c的正向为逆时针方向）计算方法：（1）第二类曲线积分计算（2）化为普通定积分battiytxtzzc:),()()(:dttyitxtytxivtytxudzzfbac)]()([))](),(())(),(([)(重要结果：1,01,2)(1||00nnidzzzrzzn（n为任意整数）二、柯西积分定理定理1（柯西积分定理）设)(zf在单连通区域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，则0)(Cdzzf。注：条件变为)(zf在单连通区域D内解析，在D的边界C上连续，结论成立，即0)(Cdzzf。定理2设)(zf在单连通区域D内解析，则积分与路径无关。记积分为zzdzzf0)(，或zzdf0)(原函数定义结论：zzdfzF0)()(是)(zf的原函数。)()()(0110zFzFdzzfzz（条件：)(zf是解析函数）定理3（闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域）21,CC是两条简单闭曲线，2C在1C内部，)(zf在21,CC所围区域D内解析，在21,CC上连续，则21)()(CCdzzfdzzf注：定理3说明：区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内的连续变动而改变它的值。三、柯西积分公式定理1（柯西积分公式）)(zf在简单闭曲线C上连续，C的内部解析（即单连通区域D内解析），0z是C的内部一点，则)(2)(00zfidzzzzfC注：（1）D为多连通区域时，公式仍成立。（2）提供了计算积分的一种方法。推论1（平均值公式）设)(zf在Rzz||0内解析，在Rzz||0上连续，则2000)Re(21)(dezfzfi定理2（最大模原理）设)(zf在区域D内解析，又)(zf不是常数，则在D内|)(|zf没有最大值。推论1区域D内的解析函数，若其模在D内一点达到最大值，则此函数被常数。（定理2的逆否命题）四、解析函数的高阶导数定理1（解析函数的高阶导数）设)(zf在简单闭曲线C所围的单连通区域D内解析，在C上连续，则)(zf的各阶导数均在D内解析，且对D内z有dzfinzfCnn1)()()(2!)(，或)(!2)()()(1zfnidzfnCn注：由柯西积分公式)(2)(zifdzfC求导即得。第四章解析函数的级数表示一、数项级数1nnz，其中nnniyxz定理1nnz收敛的必要条件是0limnnz定理1nnz收敛1nnx与1nny均收敛定理1||nnz收敛1nnz收敛，称为绝对收敛1||nnz发散，1nnz收敛，称为条件收敛二、幂级数00)(nnnzzc收敛半径|,|lim1nnncc,||limnnnc则1R收敛圆Rzz||0三、函数展开成泰勒级数（幂级数）公式：1、011nnzz，1||z2、0!1nnzzne，||z3、53!51!31sinzzzz，||z42!41!211coszzz，||z4、对数函数，反三角函数求导数四、洛朗级数（函数在环域内展开）第五章留数一、孤立奇点0z（函数在0z不解析，在0z的去心邻域内解析）分类：1、可去奇点（洛朗级数中没有负幂项）判定（1）洛朗级数，（2）)(lim0zfzz存在2、极点（洛朗级数中有有限负幂项）判定（1）洛朗级数，（2）)(lim0zfzz极点阶数判定：（1）洛朗级数（2）)()(1)(0zzzzfm，)(z在0z解析，0)(0z，则0z是)(zf的m阶极点。（3）零点与极点关系（4）)()()(zQzPzf，0z是分子的n阶零点，是分母的m阶零点，mn时，0z是函数的m-n阶极点，否则，是可去奇点。3、本性奇点（洛朗级数中有无限负幂项）判定（1）洛朗级数，（2）)(lim0zfzz不存在，也不是无穷。二、m阶零点法10)(,1,,1,0,0)(0)(0)(zfmkzfmk法2函数在0z展开成幂级数三、留数10]),([Reczzfs，1c是洛朗级数中01zz系数。留数计算：可去奇点处留数为零本性奇点：通过洛朗级数求解m阶极点：)1(00)]()[(lim)!1(1]),([Re0mmzzzfzzmzzfs一阶极点)()(lim]),([Re000zfzzzzfszz或0|)()(]),([Re0zzzQzPzzfs，0z是分母1阶零点，不是分子零点注：用洛朗级数求留数，不需判定奇点类型。留数定理：nkkCzzfsidzzf1]),([Re2)(，条件；)(zf在C内除有限个孤立奇点外处处解析。函数在留数：]),([Rezfs]0),1(1[Re2zfzs定理函数在扩充复平面上各点留数和为零。四、留数在定积分中的应用1、形如20d)sin,(cosR的积分2、形如xxRd)(的积分3、)0(d)(eaxxRiax