中考数学知识点-三角函数复习-中考经典试题解析-锐角三角函数

◆典例解析例1（2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（l）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．【解】（1）∵BF=CF，∠C=030，∴∠FBC=030，∠BFC=0120又由折叠可知∠DBF=030∴∠BDF=090（2）在Rt△BDF中，∵∠DBF=030，BF=8∴BD=43∵AD∥BC，∠A=090∴∠ABC=090又∵∠FBC=∠DBF=030∴∠ABD=030在Rt△BDA中，∵∠AVD=030，BD=43∴AB=6．6.（2011湖北襄阳，19，6分）先化简再求值：412)121(22xxxx，其中160tanx.【答案】原式12)1()2)(2(212xxxxxxx·················2分当13160tanx时，······················3分原式13333113213.6分例2已知为锐角，且tan=22，则代数式12sincoscos=______．解析方法一：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan=22，令a=2，b=2，则此时c=6．∴sin=ac=26=33，cos=2b=63．∴原式=23632212(21)3333366633=(21)3321223262．方法二：∵tan=sincos=22．∴2sin=cos2．又∵sin2+cos2=1．∴2223cos2cos12sincos12cos2coscoscos=2322(21)2122()22222．方法三：∵tan=sincos=22，sin2+cos2=1．∴原式=222(sincos)sin2sincoscossincos||coscoscos=|tan-1|=|22-1|=222．答案222例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．解析过点B作BE⊥AD，交AD延长线于E．∵∠C=90°，∴sinB=ACBA=35．∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，∴AB=10，BC=8，∴BD=2．∵∠ADC=45°，∴∠BDE=45°，∴DE=BE=22BD=2．又∵在Rt△ACD中，AD=DC=62，∴AE=72，∴tan∠BAD=272BEAE=17．点评要求∠BAD的正切值，首先得将∠BAD转化到某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键．2011年真题1.（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为A．12B．13C．14D．24ABCC’B’【答案】B2.（2011江苏苏州，9,3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于A.43B.34C.53D.54【答案】B3.（2011四川内江，11，3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC的面积为A．83B．15C．93D．123【答案】C4.（2011山东临沂，13，3分）如图，△ABC中，cosB＝22，sinC＝53，则△ABC的面积是（）A．221B．12C．14D．21BACDE【答案】A5.（2011安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为().A．12B．34C．32D．45【答案】C6.（2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立．．．的是（）（A）tanA·cotA=1（B）sinA=tanA·cosA（C）cosA=cotA·sinA（D）tan2A+cot2A=1【答案】D7.（2011山东烟台，9,4分）如果△ABC中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形【答案】C8.(2011浙江湖州，4，3)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为A．2B．12C．55D．255【答案】B9.（2011浙江温州，5，4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是()A．513B．1213C．512D．135【答案】A10．（2011四川乐山2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=A．1B．2C．12D．52【答案】B11.（2011安徽芜湖，8,4分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为().A．12B．34C．32D．45【答案】B12.（2011湖北黄冈，9，3分）cos30°=（）A．12B．22C．32D．3【答案】C13.（2011广东茂名，8，3分）如图，已知：9045A，则下列各式成立的是A．sinA＝cosAB．sinAcosAC．sinAtanAD．sinAcosA【答案】B14.(20011江苏镇江,6,2分)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=5,BC=2,则sin∠ACD的值为()A.53B.255C.52D.23答案【A】15.（2011湖北鄂州，9，3分）cos30°=（）A．12B．22C．32D．3【答案】C16.（2011湖北荆州，8，3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则Bsin的值是A．1475B．53C．721D．1421【答案】D17.（2011湖北宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33,则边BC的长为().A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm（第11题图）【答案】C18.二、填空题1.（2011江苏扬州，13,3分）如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=【答案】105°2.（2011山东滨州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.【答案】13.（2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.【答案】124.（2011重庆江津，15，4分）在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________.【答案】125·5.（2011江苏淮安，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=22，则△ABC的周长等于.DABCB1C1【答案】6236.(2011江苏南京，11，2分)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于_________．【答案】127.（2011江苏南通，17，3分）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为▲m（结果保留根号）.【答案】303.8.（2011湖北武汉市，13，3分）sin30°的值为_____．【答案】219.(20011江苏镇江,11,2分)∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______.答案:60°，3210．（2011贵州安顺，14，4分）如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦，则tan∠OBE=．(第11题)BAMO【答案】5412.三、解答题(1)1.（2011安徽芜湖，17（1），6分）计算：20113015(1)()(cos68)338sin602.【答案】解：解:原式31813382……………………………………………4分83…………………………………6分2.（2011四川南充市，19，8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=31,求tan∠EBC的值.FEDCBA【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=∠C=90°第14题图∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE∴∠BFE=∠C=90°∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°又∠AFB+∠ABF=90°∴∠ABF=∠DFE∴⊿ABE∽⊿DFE(2)解：在Rt⊿DEF中，sin∠DFE=EFDE=31∴设DE=a,EF=3a,DF=22DEEF=22a∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,∠EBC=∠EBF又由（1）⊿ABE∽⊿DFE，∴BFFE=ABDF=aa422=22∴tan∠EBF=BFFE=22tan∠EBC=tan∠EBF=223.（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=32。计算10184cos(3.14)tan3的值。【答案】由sin(α+15°)=32得α=45°原式=2224113324.（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°=。（2）对于0°A180°，∠A的正对值sadA的取值范围是。（3）如图②，已知sinA35，其中∠A为锐角，试求sadA的值。【答案】（1）1（2）0sadA2（3）设AB=5a，BC=3a，则AC=4a如图，在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E。则DE=AD·sinA=4a·35=125a，AE=AD·cosA=4a·45=165aACBDEAABCCB图①图②CE=4a－165a=45a2222412410555CDCEDEaa∴sadA105CDAC5.资三．